Изменения

Это мотивировано непрерывностью в точке функции в точке <tex>x</tex>. (это что?) По определению <tex>o(\Delta x)</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \ 0 < |\Delta x| < \varepsilon \Rightarrow\left|\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right| \leq \varepsilon.</tex> Последнее неравенство можно переписать как<tex>|o(\Delta x)| \leq \varepsilon |\Delta x|</tex>

Для полного счастья осталось доказать, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>. Докажем это<tex>z' = g'(y_0) f'(x_0)</tex> Для доказательства теоремы осталось доказать тот факт, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>.

<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) =\Delta x(f'(x_0) + o(1))</tex>, где <tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>, что стремится к <tex>0</tex>.

Из всего этого следует, что при <tex>\Delta x \to 0</tex> , <tex>\Delta y \to 0</tex> для для имеющегося <tex>\delta > 0</tex>.

Подберём Так как <tex>f(x)</tex> &mdash; непрерывна, то существует <tex>\delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta\Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y| = c \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)|

</tex>, где <tex>M = |f'(x_0) + o(1)|</tex>.