Изменения
→Оценка быстродействия
Рассмотрим две вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> принадлежащие <tex>V</tex>, соединенные некоторым ребром из <tex>E</tex>. Увеличение производится вдоль кратчайших путей, поэтому если ребро <tex>(u,v)</tex> становиться критическим в первый раз, верно, что <tex>\delta_f(s,v) = \delta_f(s,u) + 1</tex>. После увеличения потока ребро <tex>(u, v)</tex> исчезает из сети. Оно не появится в другом увеличивающем пути до тех, пор пока не будет уменьшен по обратному ребру <tex>(v, u)</tex>. Это может произойти только в том случае, если ребро <tex>(v, u)</tex> встретится на некотором увеличивающем пути. Пусть в момент перед увеличением поток в сети <tex>G</tex> составлял <tex>f'</tex>, то поскольку увеличение производиться вдоль кратчайших путей, верно: <tex>\delta'_f(s,u) = \delta'_f(s, v) + 1</tex>. Согласно [[#lemma1|лемме]] <tex>\delta_f(s,v) \leqslant \delta'_f(s,v)</tex>, откуда <tex>\delta'_f(s,u) = \delta'(s,v) + 1 \geqslant \delta_f(s,v) + 1 = \delta_f(s,u) + 2</tex>.
Итак в промежуток времени между тем, когда ребро <tex>(u,v)</tex> становится критическим в первый раз, до момента, когда оно становится критическим в следующий раз, расстояние от <tex>s</tex> до <tex>u</tex> увеличивается минимум на <tex>2</tex>. Расстояние <tex>\delta(s,u)</tex> в начальный момент времени больше либо равно <tex>0</tex>. Среди промежуточных вершин на кратчайшем пути <tex>s \leadsto u</tex> не могут находиться <tex>s</tex>, <tex>u</tex> или <tex>t</tex>. Следовательно к тому моменту, когда вершина <tex>u</tex> станет недостижимой из источника расстояние до нее не превысит <tex>|V| - 2</tex>. Получаем, что ребро <tex>(u, v)</tex> могло стать критическим не более <tex>\dfrac{(|V| -2)/}{2 } = \dfrac{|V|/}{2 } - 1</tex> раз. Поскольку в графе не более <tex>O(E)</tex> пар вершин, между которыми могут существовать ребра в остаточной сети, то общее количество критических ребер в ходе выполнения алгоритма Эдмондса-Карпа равно <tex>O(V E)</tex>.
Так как каждый увеличивающий путь содержит по крайней мере одно критическое ребро, следовательно число кратчайших путей составляет <tex>O(V E)</tex>. На каждой итерации цикла <tex>\mathrm {while}</tex> рассматривается ровно один увеличивающий путь, а поскольку в случае отсутствия такого пути выполнение цикла прерывается, то число итераций цикла <tex>\mathrm {while}</tex> также составляет <tex>O(V E)</tex>.
