Изменения
Изменены детали док-ва, добавлена секция |about.
Теорема
|author=Кэли(''Cayley'')
|about=о вложении любой конечной группы в группу перестановок
|statement=
Любая конечная группа <tex>G</tex> изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (симметрической группе).
|proof=
Пусть <tex>*</tex> - бинарная операция в группе <tex>G</tex>. Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x</tex>. Так как <tex>G</tex> - группа, то существует обратный Вследствие существования обратного к <tex>g</tex> элемент элемента <tex>g^{-1}</tex>, тогда у этой функции есть обратная к ней <tex>f_g(x_1) = f_g(x_2) \Rightarrow x_1 = g^{-1}*f_g(x_1) = gf^{-1}*f_g(x_2) = x_2_g</tex> , то есть и поэтому <tex>f_g</tex> - перестановка.
Пусть <tex>\circ</tex> - композиция двух перестановок.
Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)</tex>.
*<tex>T</tex> - инъекция, потому что <tex>g*f_g(x ) = f_{g'*}(x ) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'</tex> }(после домножения обеих частей на <tex>x)*x^{-1}= g'</tex>).
*Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>.
