42
правки
Изменения
м
Новая страница: «Лекция от 20 сентября 2010. =Определения= {{Определение |definition= Если А и В - произвольные множес…»
Лекция от 20 сентября 2010.
=Определения=
{{Определение
|definition=
Если А и В - произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, что они '''равномощны''':
<tex> |A| = |B| </tex>
}}
Множество называется ''конечным'', если его элементы можно пересчитать, иначе его оно называется ''бесконечным''.
{{Определение
|definition=
Если <tex> |A| = |\mathbb N| </tex>, то A называется '''счетным''' множеством.
}}
<tex> A = \{a_1, a_2, ... , a_n \} </tex> - счетное множество.
Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.
{{Утверждение
|statement=
Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.
|proof=
<tex> B \subset A </tex>
<tex> a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \{ a_1 \} = A_1 </tex> - бесконечное множество.
<tex> a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 </tex> - также бесконечное множество.
Продолжаем этот процесс далее, пока не останется <tex> B \subset A </tex> - счетное множество. (ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйста.)
}}
Если <tex> \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - совокупность попарно различных элементов, то это - счетное множество.
Для счетных множеств часто применяется следующий факт:
{{Утверждение
|statement=
Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно:
Пусть <tex> A_n </tex> - счетное/конечное множество.
Тогда: <tex> | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| </tex>
|proof=
<tex> A_n = \{ a_{n1}, a_{n2}, ... \} </tex>.
TODO: А вот тут должна какая-то биекция, доказывающая это утверждение.
<tex> \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ a_{31} & \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} </tex>
}}
{{Определение
|definition=
<tex> Множество I = [0, 1] </tex> называется ''континииумом''.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex> I </tex> - несчетное множество.
|proof=
Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:
Пусть <tex> I = \{ x_1, x_2, ... , x_n \} </tex>
Разделим I на 3 части и назовем <tex> \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 </tex>. Такой отрезок всегда существует.
Далее разобьем <tex> \Delta_1 </tex> на 3 части. Назовем <tex> \Delta_2 </tex> тот отрезок, который не содержит <tex> x_2 </tex>, и так далее..
В результате выстраивается система вложенных отрезков:
<tex> \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} \subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \} </tex>
По свойству системы вложенных отрезков:
<tex> \exists d = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n </tex>
<tex> d \in I </tex>. Пусть теперь <tex> d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} </tex>.
По построению: <tex> d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} </tex>, но <tex> d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} </tex>, противоречие.
}}
Если <tex> |A| = |I| </tex>, то обычно говорят, что А ''обладает мощностью континиума'':
{{Утверждение
|statement=
<tex> |\mathbb R| = |I| </tex>
|proof=
Рассмотрим функцию <tex> y = tg \, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>
С ее помощью можно установить биекцию между множествами <tex> \mathbb R </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>.
Биекцию между множествами <tex> (0, 1) </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex> можно установить параллельным переносом и сжатием:
<tex> x \leftrightarrow (x * \pi) - \frac {\pi}{2} </tex>
Получили, что <tex> |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | </tex>.
Осталось доказать, что <tex> |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>.
Применим следующий прием:
Пусть <tex> a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) </tex> - попарно различны.
Множество <tex> A = \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - счетное.
Определим множество <tex> B = A \cup \{ 0, 1 \} </tex>. Множество <tex> B </tex> также счетное.
Между счетными множествами можно установить биекцию: <tex> B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A = [0, 1] \backslash B
\Rightarrow (0, 1) = [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>
В итоге получили, что <tex> |\mathbb R| = |[0, 1]| </tex>
}}
<tex> \mathbb Q </tex> - счетно.
<tex> |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow </tex> иррациональных чисел по мощности континииум.
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
=Определения=
{{Определение
|definition=
Если А и В - произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, что они '''равномощны''':
<tex> |A| = |B| </tex>
}}
Множество называется ''конечным'', если его элементы можно пересчитать, иначе его оно называется ''бесконечным''.
{{Определение
|definition=
Если <tex> |A| = |\mathbb N| </tex>, то A называется '''счетным''' множеством.
}}
<tex> A = \{a_1, a_2, ... , a_n \} </tex> - счетное множество.
Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.
{{Утверждение
|statement=
Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.
|proof=
<tex> B \subset A </tex>
<tex> a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \{ a_1 \} = A_1 </tex> - бесконечное множество.
<tex> a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 </tex> - также бесконечное множество.
Продолжаем этот процесс далее, пока не останется <tex> B \subset A </tex> - счетное множество. (ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйста.)
}}
Если <tex> \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - совокупность попарно различных элементов, то это - счетное множество.
Для счетных множеств часто применяется следующий факт:
{{Утверждение
|statement=
Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно:
Пусть <tex> A_n </tex> - счетное/конечное множество.
Тогда: <tex> | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| </tex>
|proof=
<tex> A_n = \{ a_{n1}, a_{n2}, ... \} </tex>.
TODO: А вот тут должна какая-то биекция, доказывающая это утверждение.
<tex> \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ a_{31} & \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} </tex>
}}
{{Определение
|definition=
<tex> Множество I = [0, 1] </tex> называется ''континииумом''.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex> I </tex> - несчетное множество.
|proof=
Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:
Пусть <tex> I = \{ x_1, x_2, ... , x_n \} </tex>
Разделим I на 3 части и назовем <tex> \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 </tex>. Такой отрезок всегда существует.
Далее разобьем <tex> \Delta_1 </tex> на 3 части. Назовем <tex> \Delta_2 </tex> тот отрезок, который не содержит <tex> x_2 </tex>, и так далее..
В результате выстраивается система вложенных отрезков:
<tex> \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} \subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \} </tex>
По свойству системы вложенных отрезков:
<tex> \exists d = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n </tex>
<tex> d \in I </tex>. Пусть теперь <tex> d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} </tex>.
По построению: <tex> d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} </tex>, но <tex> d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} </tex>, противоречие.
}}
Если <tex> |A| = |I| </tex>, то обычно говорят, что А ''обладает мощностью континиума'':
{{Утверждение
|statement=
<tex> |\mathbb R| = |I| </tex>
|proof=
Рассмотрим функцию <tex> y = tg \, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>
С ее помощью можно установить биекцию между множествами <tex> \mathbb R </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>.
Биекцию между множествами <tex> (0, 1) </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex> можно установить параллельным переносом и сжатием:
<tex> x \leftrightarrow (x * \pi) - \frac {\pi}{2} </tex>
Получили, что <tex> |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | </tex>.
Осталось доказать, что <tex> |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>.
Применим следующий прием:
Пусть <tex> a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) </tex> - попарно различны.
Множество <tex> A = \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - счетное.
Определим множество <tex> B = A \cup \{ 0, 1 \} </tex>. Множество <tex> B </tex> также счетное.
Между счетными множествами можно установить биекцию: <tex> B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A = [0, 1] \backslash B
\Rightarrow (0, 1) = [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>
В итоге получили, что <tex> |\mathbb R| = |[0, 1]| </tex>
}}
<tex> \mathbb Q </tex> - счетно.
<tex> |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow </tex> иррациональных чисел по мощности континииум.
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
