1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
Еще раз вспомним свойство № 2 По свойству №2 модулей непрерывности : <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)</tex>. Рассматривая точные нижние грани обеих частей и используя определение ф-ции функции <tex>\omega^*(u)</tex>, получим требуемые в условии теоремы неравенства.
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
[[Отображения|Функция ]] <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если:
# <tex>\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)</tex>
# <tex>\omega (t)</tex> не убываетнеубывает
# <tex>\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)</tex> (полуаддитивность)
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>\forall n \in \mathbb{N}</tex> верно : <tex> \omega (nt) \le n \omega (t)</tex>
|about=
свойство №1
{{Утверждение
|statement=
<tex>\forall \lambda > 0</tex> верно : <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>
|about=
свойство №2
{{Утверждение
|statement=
Пусть для некоторой функции <tex>\omega</tex> выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция <tex>\frac{\omega(t)}t</tex> убываетне возрастает. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.
|about=
свойство №3
|proof=
Видно, что треубется требуется доказать только полуаддитивность.
Т. к. <tex>t_1, t_2 < t_1 + t_2</tex>, то <tex>\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}</tex>.
Тогда <tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2) </tex>.
|proof=
Требуется показать, что:
:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2), \ qquad \beta \in [0; 1]</tex><br />
Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого <tex>\alpha \in A</tex> верно:
:<tex>\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) \cdot f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />
Но по определению <tex>f(t) \le f_{\alpha}(t)</tex>, следовательно,
:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />
Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества <tex>F</tex>, получаем искомое неравенство.
}}
|statement=
Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>
:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)</tex>
|proof=
По свойству 2 имеем <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex> для всех <tex>\lambda</tex> и <tex>t \geq ge 0</tex>. Обозначим <tex>u = \lambda t</tex>, тогда <tex>\lambda = \frac ut</tex>.
Перепишем равенство : <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)</tex>. Определим теперь функцию <tex>\omega^*(u) = \inf\limits_{t > 0} \,(1 + \frac ut)\cdot\omega(t)</tex>.Рассмотрим семейство функций <tex> \tilde \omega(u)_t = (1 + \frac ut)\cdot\omega(t), t > 0</tex>. Каждая функция из этого семейства выпукла как линейная. Но тогда <tex>\omega^*(u)</tex> выпукла вверх по доказанному выше факту.
Докажем теперь, что <tex>\omega^*(u)</tex> - модуль непрерывности. Действительно,
#<tex>\omega^*</tex> выпукла вверх
#<tex>\omega^*(0) = \inf\limits_{t > 0}\,{\omega(t)} = 0</tex> (т. к. <tex>\lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t) = 0</tex> )#<tex>\omega^*</tex> не убываетнеубывает. В самом деле, <tex>u_1 \leq le u_2 \Rightarrow (1 + \frac{u_1}t)\cdot\omega(t) \leq (1 + \frac{u_2}t)\cdot\omega(t)</tex>. Переходя к инфимумам нижним граням обеих частей последнего неравенства, получаем <tex>u_1 \leq le u_2 \Rightarrow \omega^*(u_1) \leq le \omega^*(u_2)</tex>.
Итак, построенная нами функция <tex>\omega^*(t)</tex> является модулем непрерывности, выпукла вверх и удовлетворяет указанным в условии теореме неравенствам.
== Модуль непрерывности функции ==
Пусть <tex>f</tex> - функция, непрерывная на <tex>[a; b]</tex>. Пусть <tex>h \ge 0</tex>. Положим
:<tex>\omega(f, h) = \sup\limits_{|x'' - x'| \le h}\,|f(x'') - f(x')|</tex>.
Можно проверить, что представленная функция является модулем непрерывности. В силу построения такая функция называется модулем непрерывности функции <tex>f</tex>.
Рассмотрим множество выпуклых вверх модулей непрерывности, мажорирующих модуль непрерывности функции <tex>f</tex>:
:<tex>\omega^* \in \Omega^*: \omega(f, h) \le \omega^*(h) \ qquad \forall h \ge 0</tex>.
Опеределим <tex>\omega^*(f, h) = \inf\limits_{\omega^* \in \Omega^*(f)} \,\omega^*(h)</tex>, где <tex>\Omega^*(f)</tex> - класс выпуклых мажорант функции <tex>f</tex> (то есть, все модули непрерывности, удовлетворяющие написанному выше неравенству).
Очевидно, что мы получаем выпуклый вверх модуль непрерывности. Его принято называть выпуклым модулем непрерывности функции <tex>f</tex>.
По доказанной выше теореме получаем следующее следствие:
:<tex>\omega(f, \lambda h) \le \omega^* (f, \lambda h) \le (1 + \lambda)\cdot\omega(f, h) \ qquad \forall\lambda, h \ge 0</tex>, а также:
:<tex>\omega(f, h) \le \omega^* (f, h) \le 2 \omega(f, h)</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
