Изменения

{{Теорема|statement= Перечисления графов Задача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.|proof= == Помеченные графы Пусть <tex>A =\{ (G_1, G_2) \mid L(G_1) \cap L(G_2) =\varnothing \}</tex>. Сведем [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблему соответствий Поста]] к <tex>\overline{A}</tex>, таким образом показав, что дополнение проблемы неразрешимо. Так как рекурсивные языки [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и алгебраических операций|замкнуты относительно дополнения]], то из неразрешимости дополнения проблемы будет следовать неразрешимость самой проблемы.

{{ОпределениеДля любого экземпляра ПСП <tex>(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ..., y_n)</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex> можно подобрать символ <tex>\# \notin \Sigma</tex>. Для каждого экземпляра построим грамматики:|definition * <tex>G_1 : S \rightarrow aSa \mid a\#a</tex> для всех <tex>a \in \Sigma</tex>. Тогда <tex>L(G_1) ='''Помеченный граф''' с \{ w\#w^R \mid w \in \Sigma^* \}</tex>, где обозначение <tex>nw^R</tex> вершинами {{---}} граф, у которого каждая вершина помечена целым числом от разворот <tex>w</tex>.* <tex>1G_2 : S \rightarrow x_iSy^R_i \mid x_i\#y^R_i</tex> до для всех <tex>i = 1, 2, \dots n</tex>.Тогда <tex>L(G_2) = \{ x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_m} \# (y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_m})^R \mid i_1, i_2, \dots i_m \in \{ 1, 2, \dots n \}, m \geqslant 1 \}</tex>.

Более формально определить это понятие можно так: назовем распределением Если данный экземпляр ПСП имеет решение, то <tex>fL(G_2)</tex> меток в графе содержит хотя бы одну строку вида <tex>Gw\#w^R</tex> с , поэтому <tex>nL(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing</tex> вершинами биекцию между множеством вершин графа , и множеством наоборот, если он не имеет решения, то <tex>\{1 \cdots n\}L(G_2)</tex>. Тогда помеченным графом называется пара не содержит строк такого вида, соответственно <tex>L(G_1) \cap L(G, fG_2)= \varnothing</tex>.

{{Определение|definition =Два помеченных графа <tex>(G_{1}, f_{1})Таким образом мы свели проблему соответствий Поста к </tex> и <tex>(G_\overline{2A}, f_{2})</tex> '''изоморфны''', если существует изоморфизм между <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex>следовательно, сохраняющий распределение метокзадача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.

Все помеченные графы с тремя вершинами показаны на рисунке 1По двум КС-грамматикам <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> можно построить КС-грамматику для [[Замкнутость КС-языков относительно различных операций#.D0.9A.D0.BE.D0.BD.D0.BA.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BD.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1. 8F|конкатенации]] задаваемых ими языков <tex>4L(G_1)L(G_2)</tex> различных графа . По аналогии с этим мы можем рассматривать язык <tex>L(G_1)\#L(G_2)\#</tex>, где <tex>\#</tex> {{---}} новый символ, не встречающийся в алфавите. Заметим, что пересечение языков непусто, то есть <tex>3L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing </tex> вершинами приводят к , тогда и только тогда, когда <tex>8L(G_1)\#L(G_2)\#</tex> различным помеченным графамсодержит [[Алгоритм Ландау-Шмидта#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|тандемный повтор]].

{| cellpadding="2"| || [[Файл:Перечисл1Аналогично можно заметить, что пересечение <tex>L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing </tex> тогда и только тогда, когда <tex>L(G_1)\#L(G_2)^R</tex> содержит палиндром.jpg|thumb|left|420px|Рис. 1. Помеченные графы с тремя вершинами.]]|}

Для нахождения числа помеченных графов с <tex>p</tex> вершинами нужно заметитьТаким образом, что каждое из <tex dpi = "165"> p\choose 2</tex> возможных ребер либо принадлежит графу, либо нет.мы имеем:{{Теорема|about=1Утверждение|statement=Число помеченных графов с Пусть дана грамматика <tex>pG</tex> вершинами равно , <tex dpi >L(G) = "165"> 2^{p\choose 2}L</tex>}}. Тогда следующие задачи неразрешимы:Следовательно, число помеченных графов с # Содержит ли <tex>qL</tex> ребрами равно тандемный повтор.# Содержит ли <tex dpi = "165"> {p\choose 2}\choose qL</tex>палиндром.}}