Изменения

Будем доказывать теорему от противного. Предположим, что это не так. Очевидно, что условие теоремы выполняется при <tex>n = 2</tex> и <tex>n = 3</tex>. Тогда существует орсвязный граф <tex>G</tex> с <tex>n \geqslant 4</tex>, который удовлетворяет условию и при этом не является гамильтоновым. Пусть <tex>C</tex> {{---}} максимальный цикл в <tex>G</tex> длины <tex>k</tex>. По лемме о длине цикла и по предположению о том, что граф не является гамильтоновым, получаем соотношение <tex>1 + n/2 \leqslant k < n</tex>. Теперь рассмотрим <tex>P = v_0 \dots v_l</tex> {{---}} путь максимальной длины в <tex>G</tex> такой, что никакая вершина этого пути не принадлежит циклу <tex>C</tex>. Предположим, что длина этого пути <tex>l \geqslant 0</tex>. Тогда <tex>k + l + 1 \leqslant n</tex>. Следовательно, <tex>l \leqslant n - k - 1 \leqslant n - (1 + n/2) - 1 \leqslant n/2 - 2</tex>. Таким образом, <tex>l \leqslant n/2 - 2</tex>. Это значит, что в вершину <tex>v_0</tex> входят как минимум два ребра, выходящие из вершин, лежащих на <tex>C</tex>, а из вершины <tex>v_l</tex> выходят два ребра, входящих которые входят в вершины, принадлежащие <tex>C</tex> (так как если бы эти вершины не лежали на данном цикле, путь <tex>P</tex> можно было бы продлить). <br>Пусть <tex>a</tex> {{---}} количество вершин, принадлежащих <tex>C</tex>, ребра из которых приходят в вершину <tex>v_0</tex>. Тогда <tex>a \geqslant 2</tex>. Для каждой такой вершины следующая за ней в цикле <tex>C</tex> <tex>l + 1</tex> вершина не содержит входящих ребер, начало которых принадлежит <tex>v_l</tex>, иначе граф <tex>G</tex> содержал бы цикл длины <tex>> k</tex>.