Изменения

== Вычисление некоторых пределов == Вычислим предварительно ряд важных [[Предел последовательности|пределов]]. === Первый замечательный предел === {{Утверждение|statement=<tex>\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</tex>|proof=[[file:Sin1.png|thumb|300px]]В разработкетеории степенных рядов синус определён как сумма ряда. Сейчас для доказательства, однако, воспользуемся геометрическим смыслом синуса.Рассмотрим радианную меру угла <tex>\alpha</tex>, равную отношению длины дуги к радиусу окружности.В частности, при <tex>r = 1</tex>, длина дуги совпадает с величиной угла. <tex>0 \leq x \le \frac\pi2</tex> Сектор <tex>AOB \subset \triangle AOD</tex> <tex>\sin x = |BC| \leq AB < \buildrel \smile \over{AB} = x</tex> <tex>\sin x < x \Rightarrow \frac{\sin x}x < 1</tex>. Запомним этот факт. Площадь сектора <tex>{AOB}</tex> равна <tex>\frac{x}2</tex>,а <tex>S_{\triangle AOD}= \frac12 \operatorname{tg} x</tex>. Тогда<tex>\frac{x}{2} \leq S_{\triangle AOD} = \frac12 \operatorname{tg} x = \frac12 \frac{\sin x}{\cos x} \Rightarrow \cos x \leq \frac{\sin x}{x}</tex> Но тогда, <tex>\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1</tex>. Но так как <tex>\lim\limits_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1</tex> Тогда <tex>\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</tex>.}} === Второй замечательный предел ===  {{Определение|definition=<tex dpi=150>e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n</tex>}} Из этого, подставив <tex>x = \frac1n</tex>, получим <tex dpi= "150">\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e</tex> Далее, прологарифмировав последнее равенство, получим:<tex>\frac{\ln(1 + x)}x</tex> при <tex>x \to 0</tex> стремится к <tex>1</tex>. === (e^x - 1)/x === {{Утверждение|statement=<tex dpi= "150">\frac{e^x - 1}x \to 1</tex> при <tex>x \to 0</tex>|proof=<tex dpi= "150">\frac{e^x - 1}{x}</tex>(подставив <tex>t = e^x - 1</tex>) <tex> = \frac{t}{\ln (1 + t)}</tex>. Тогда <tex>\frac{\ln (1 + x)}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} 1 \Rightarrow \frac{t}{\ln (1 + t)} \xrightarrow[t \to 0]{} 1</tex>}}  Рассмотрим выражение <tex dpi= "150"> \frac{(1+x)^m - 1}{mx}, \ x \to 0 </tex>. Оно (?)создаёт неопределённость <tex>\frac00</tex>. При этом, предел нельзявычислить переходом к нему в числителе и знаменателе по отдельности. Этот предел подстановкой сводится к предыдущим. == Вычисление производных некоторых функций == === y = x^n === ==== n {{---}} целое ==== {{Утверждение|statement=<tex>(x^n)' = nx^{n - 1}, \ n \in \mathbb{N}</tex>|proof=Докажем по индукции.* База: <tex>n = 1</tex>. Это соответствует функции <tex>x</tex>. Тогда <tex>\Delta y = \Delta x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1, \Delta x \to 0</tex> Тогда <tex>x' = 1 = 1 \cdot x^{1 - 1}</tex> * Шаг:  <tex>\left(x ^ n\right)' = (x \cdot x^{n - 1})' = x'x^{n-1} + (x^{n - 1})'x = x^{n - 1} + (n - 1)x^{n - 1} = n x^{n - 1}</tex>}} Заметим, что если <tex>y = f(x)</tex> непрерывна и монотонна в окрестности <tex>0</tex>, а также, <tex>f'(x_0) \ne 0</tex>, тообратная функция дифференцируема в <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, и её производная равна <tex>\frac1{f'(x_0)}</tex>. Это следует из того факта, что <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac1{\frac{\Delta x}{\Delta y}}</tex>.  ==== 1/n; n {{---}} целое ==== {{Утверждение|statement=Посчитаем <tex dpi= "150">y' = (x^{\frac1n})' = \frac1n x^{\frac1n - 1}, \ n \in \mathbb{N}</tex>|proof=Согласно формуле дифференцирования обратной функции, <tex>x' = (y^n)' = n y^{n - 1}</tex>. <tex dpi= "150">y' = \frac{1}{x'} = \frac1{ny^{n - 1}} = \frac1n y^{1 - n} = \frac1n \left(x^{\frac1n}\right)^{1 - n} = \frac1n x^{\frac1n - 1}</tex>}} Подведём промежуточный итог. Мы научились считать <tex>(x^{\alpha})', \ \alpha = n, \frac1n, \ n \in \mathbb{N}</tex> ==== n {{---}} рациональное ==== {{Утверждение|statement=<tex>(x ^ {\alpha})', \ \alpha \in \mathbb{Q}</tex>.|proof=<tex dpi= "150">(x^{\frac{n}{m}})'</tex>(подставив <tex>t = x^{\frac 1m}</tex>) <tex> = n t^{n - 1} \frac 1m x ^ {\frac1m - 1} = \frac{n}{m} x ^ {\frac{n}{m} - 1}</tex>}} Важное Замечание:<tex>x^{\sqrt2}</tex> {{---}} не степенная функция. Все реальные пацаны считают это по определению равным <tex>e^{\sqrt2 \cdot \ln x}</tex> === e^x === {{Утверждение|statement=<tex>(e^x)' = e^x</tex>|proof=<tex>y = e^x</tex> <tex>\Delta y = e^{x + \Delta x} - e^x = e^x(e^{\Delta x} - 1)</tex> Тогда <tex dpi= "150">\frac{\Delta y}{\Delta x} = e^x \cdot \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}</tex>. Ранее мы доказали, что <tex>\frac{e^x - 1}{x} \xrightarrow[x\to 0]{} 1</tex>. Тогда <tex>y' = \frac{\Delta y}{\Delta x} = e^x</tex>. Это единственная функция, которая обладает таким свойством(это просто забавный факт, его не надо доказывать). Именно поэтому <tex>e</tex> занимает такое важное место в математике.}} === ln(x) === {{Утверждение|statement=<tex>\ln'(x) = \frac1x</tex>|proof=<tex>x = e^y</tex>. Тогда <tex>x' = e^y</tex>. <tex dpi= "150">y' = \frac{1}{x'} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac1x</tex>}}  === sin(x) ===  {{Утверждение|statement=<tex>\sin'(x) = \cos(x)</tex>|proof=Пусть <tex>y = \sin x</tex>. <tex>\Delta y = \sin(x + \Delta x) - \sin(x) = 2 \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)</tex> <tex dpi= "150">\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2} \right)</tex> Первый множитель, равный вычисленному ранее пределу, равен <tex>1</tex>, а второй при <tex>\Delta x \to 0</tex> стремится к <tex>\cos x</tex>. Тогда <tex>\sin'(x) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \cos x</tex>.}}  === arcsin(x) === {{Утверждение|statement=<tex dpi= "150">\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \ y \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]</tex>|proof=<tex>y = \arcsin x \Rightarrow x = \sin y</tex>. Тогда <tex>x' = \cos x</tex>. Так как <tex>\cos(\arcsin(x)) \geq 0</tex>, то <tex dpi= "150">y' = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\cos \arcsin x} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 (\arcsin x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</tex> Получаем <tex dpi= "150">\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</tex>.}} [[Категория:Математический анализ 1 курс]]