42
правки
Изменения
м
Новая страница: «Лекция от 20 сентября. =Последовательность= {{Определение |definition= '''Последовательность''' - …»
Лекция от 20 сентября.
=Последовательность=
{{Определение
|definition=
'''Последовательность''' - функция натурального аргумента:
<tex> f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R </tex>
<tex> f(n) </tex> - значения <tex> f </tex>, <tex> f(n) = a_n </tex>
<tex> f(N) </tex> - множество значений <tex> f </tex>
}}
<tex> c_n = a_n + b_n </tex> - сумма последовательностей.
<tex> c_n = a_n * b_n </tex> - произведение последовательностей.
В общем, арифметические действия с последовательностями совершаются над элементами с одинаковыми номерами.
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a_n = f(n) </tex> '''ограничена сверху(снизу)''', если <tex> f(N) </tex> ограничено сверху(снизу).
}}
Иначе это можно записать так:
<tex> \exists d : \forall n : d \le a_n \Rightarrow a_n </tex> ограниченa снизу.
<tex> \exists d : \forall n : d \ge a_n \Rightarrow a_n </tex> ограниченa сверху.
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a_n </tex> '''возрастает''' (пишут: <tex> a_n \uparrow </tex>), если: <tex> \forall n : a_n \le a_{n+1} </tex>.
Аналогично, если <tex> \forall n : a_n \ge a_{n+1} </tex>, то говорят, что последовательность <tex> a_n </tex> '''убывает''' (<tex> a_n \downarrow </tex>).
}}
=Предел последовательности=
{{Определение
|definition=
Число <tex> a \in \mathbb R </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex> a_n </tex>, если:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>
Записывают: <tex> a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n </tex>
}}
Если последовательность имеет предел, то она ''сходится'': <tex> a_n \rightarrow a </tex>.
В определении предела последовательности <tex> \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>, строгие знаки неравенства можно заменять на нестрогие.
Также в определении предела, при выборе <tex> \varepsilon </tex> разрешено ставить ограничение на <tex> \varepsilon </tex> сверху:
<tex> 0 < \varepsilon < \varepsilon_0 </tex>.
Однако, ограничение <tex> 0 < \varepsilon </tex> обязательно.
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty \Leftrightarrow
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n < -\varepsilon </tex>
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty \Leftrightarrow
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n > \varepsilon </tex>
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty \Leftrightarrow
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : |a_n| > \varepsilon </tex>
=Ряд простейших свойств предела=
{{Утверждение
|statement=
Если <tex> \{ a_n \} </tex> сходится, то <tex> \{ a_n \} </tex> - ограничена.
|proof=
Если взять <tex> \varepsilon = 1 </tex>, то:
<tex> \exists N \in \mathbb N : \forall n > N \Rightarrow a_n \in (a - 1, a + 1) </tex>
Вне интервала <tex> (a - 1, a + 1) </tex> лежат не более, чем точки <tex> a_1, a_2, ..., a_N </tex>, а таких - конечное число.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex> a_n \rightarrow a, a_n \rightarrow b \Rightarrow a = b </tex> - единственность предела последовательности.
|proof=
<tex> |b - a| \le |a_n - a| + |a_n - b| \Rightarrow
\forall \varepsilon > 0 : |b - a| < \varepsilon \Rightarrow
|b - a| = 0 \Rightarrow a = b </tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex> a_n \le b_n \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n </tex> - предельный переход в неравенстве.
|proof=
Предположим обратное:
<tex> \lim a_n = a, \lim b_n = b, a > b </tex>
Положим <tex> \varepsilon = \frac{a - b}{3} </tex>:
<tex> \exists N_1: \forall n > N_1: a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon) </tex>
<tex> \exists N_2: \forall n > N_2: b_n \in (b - \varepsilon, b + \varepsilon) </tex>
Отрезки <tex> (a - \varepsilon, a + \varepsilon) </tex> и <tex> (b - \varepsilon, b + \varepsilon) </tex> не пересекаются, и первый лежит, по предположению,
правее второго на числовой оси.
Но <tex> \forall n > (N_1 + N_2) : a_n > b_n </tex>, получили противоречие <tex> \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n </tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
Если для последовательностей <tex> a_n, b_n, c_n </tex> выполняется:
<tex> a_n \le b_n \le c_n </tex> и <tex> a_n \rightarrow d, c_n \rightarrow d </tex>, то:
<tex> b_n \rightarrow d </tex> (принцип сжатой переменной)
|proof=
Рассмотрим отрезок <tex> [a_n, c_n] </tex>
Зафиксировав в определении предела для <tex> a_n </tex> и <tex> c_n </tex> определенный <tex> \varepsilon > 0 </tex>, '
получаем, что для какого-то <tex> N: \forall n > N: a_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon), c_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon)
\Rightarrow [a_n, c_n] \subset (d - \varepsilon, d + \varepsilon) </tex>
Но <tex> a_n \le b_n \le c_n \Rightarrow b_n \in [a_n, c_n] \Rightarrow b_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon) </tex>.
В силу того, что ранее мы могли зафиксировать любой <tex> \varepsilon > 0 </tex>, получаем, что:
<tex> \forall \varepsilon : \exists N : \forall n > N : b_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon)
\Rightarrow \lim b_n = d </tex>
}}
==Примеры==
{{Определение
|definition=
Если <tex> \lim a_n = 0 </tex>, то <tex> a_n </tex> называют '''бесконечно малой''' (б.м.) величиной,
и обозначают прописной греческой буквой (<tex> \alpha_n, \beta_n, \gamma_n, ... </tex>).
}}
<tex> \alpha_n = \frac 1n </tex> (из аксиомы Архимеда).
<tex> 0 < \varepsilon < 1, \exists N \in \mathbb N: 1 < N*\varepsilon \Leftrightarrow \frac 1N < \varepsilon </tex>
<tex> n > N \Rightarrow \frac 1n < \frac 1N < \varepsilon </tex> - выполняется для произведения <tex> \varepsilon </tex> и <tex> n > N \Rightarrow
\lim\frac 1n = 0 </tex>
===Пример 1===
<tex> a_n = 2^{\frac 1n} \rightarrow 1 \, (?)</tex>
<tex> 2^{\frac 1n} > 1 </tex>. Обозначим <tex> \alpha_n = 2^{\frac 1n} - 1 > 0 </tex>
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \Rightarrow 2 = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n*\alpha_n </tex> (используем неравенство Бернулли).
<tex> 0 < \alpha_n \le \frac 1n \Rightarrow \alpha_n </tex> - бесконечно малая.
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + </tex> (б.м.) <tex> \Rightarrow \lim 2^{\frac 1n} = 1 </tex>
Именно по этой причине говорят, что <tex> 2^0 = 1 </tex>.
===Пример 2===
<tex> a_n = n^{\frac 1n} \rightarrow 1 </tex>
<tex> n^{\frac 1n} > 1 </tex>
<tex> 0 < \alpha_n = n^{\frac 1n} - 1 </tex>
<tex> n^{\frac 1n} = \alpha_n + 1 \Rightarrow n = (1 + \alpha_n)^n =
\sum\limits_{j=0}^n {n \choose i} * \alpha_n^j \ge {n \choose 2} * \alpha_n^2 </tex>
<tex> {n \choose 2} = \frac {n(n-1)}{2} </tex>
<tex> 0 < \alpha_n^2 < \frac 2{n-1} \rightarrow 0 \Rightarrow \alpha_n^2 \rightarrow 0 </tex>
<tex> \alpha_n^2 \rightarrow 0 </tex>:
<tex> \forall \varepsilon_0 = \varepsilon^2 > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n^2 < \varepsilon_0 = \varepsilon^2 </tex>
<tex> \alpha_n^2 < \varepsilon^2 \Rightarrow \alpha_n < \varepsilon </tex> - определение предела верно и для <tex> \alpha_n </tex>
<tex> \alpha_n </tex> - бесконечно малая <tex> \Rightarrow n^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \rightarrow 1 </tex>
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> \alpha_n, \beta_n </tex> - бесконечно малые.
Тогда <tex> (\alpha_n + \beta_n), (\alpha_n * \beta_n) </tex> - также бесконечно малые.
|proof=
1) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \frac {\varepsilon}2 , \beta_n < \frac {\varepsilon}2 </tex>
<tex> |\alpha_n + \beta_n| \le |\alpha_n| + |\beta_n| < \frac {\varepsilon}2 + \frac {\varepsilon}2 = \varepsilon </tex> - для всех n, начиная с N.
2) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \varepsilon , \beta_n < 1 </tex>
<tex> |\alpha_n + \beta_n| = |\alpha_n||\beta_n| < \varepsilon * 1 = \varepsilon </tex> - для всех n, начиная с N.
}}
Таким же приемом, для произведения, доказывается, что, если <tex> \alpha_n </tex> - бесконечно малая, и <tex> a_n </tex> - ограниченная, то <tex> \alpha_n * a_n </tex> - также бесконечно малая <tex> \Rightarrow </tex> ''произведение бесконечно малой на ограниченную - также бесконечно малая''.
{{Утверждение
|statement=
Из пунктов 4 и 5 вытекает так называемая '''арифметика пределa''':
<tex> a_n \rightarrow n, b_n \rightarrow b \Rightarrow </tex>:
# <tex> (a_n \pm b_n) \rightarrow a \pm b </tex>
# <tex> (a_n * b_n) \rightarrow a * b </tex>
# Если <tex> b_n \nrightarrow 0 </tex>, то <tex> ( \frac {a_n}{b_n} ) \rightarrow \frac ab </tex>
|proof=
Докажем, например, свойство для произведения:
Представим <tex> a_n, b_n </tex> в виде: <tex> a_n = a + \alpha_n, b_n = b + \beta_n </tex>.
Тогда <tex> a_n * b_n = (a + \alpha_n) * (b + \beta_n) = a * b + \alpha_n * b + \beta_n * a + \alpha_n * \beta_n </tex>
По доказанному ранее свойству бесконечно малых, их произведение и произведение бесконечно малой на ограниченную - также бесконечно малые величины:
<tex> \alpha_n * b + \beta_n * a + \alpha_n * \beta_n \rightarrow 0 \Rightarrow a * b + \alpha_n * b + \beta_n * a + \alpha_n * \beta_n \rightarrow a * b </tex>
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
=Последовательность=
{{Определение
|definition=
'''Последовательность''' - функция натурального аргумента:
<tex> f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R </tex>
<tex> f(n) </tex> - значения <tex> f </tex>, <tex> f(n) = a_n </tex>
<tex> f(N) </tex> - множество значений <tex> f </tex>
}}
<tex> c_n = a_n + b_n </tex> - сумма последовательностей.
<tex> c_n = a_n * b_n </tex> - произведение последовательностей.
В общем, арифметические действия с последовательностями совершаются над элементами с одинаковыми номерами.
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a_n = f(n) </tex> '''ограничена сверху(снизу)''', если <tex> f(N) </tex> ограничено сверху(снизу).
}}
Иначе это можно записать так:
<tex> \exists d : \forall n : d \le a_n \Rightarrow a_n </tex> ограниченa снизу.
<tex> \exists d : \forall n : d \ge a_n \Rightarrow a_n </tex> ограниченa сверху.
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a_n </tex> '''возрастает''' (пишут: <tex> a_n \uparrow </tex>), если: <tex> \forall n : a_n \le a_{n+1} </tex>.
Аналогично, если <tex> \forall n : a_n \ge a_{n+1} </tex>, то говорят, что последовательность <tex> a_n </tex> '''убывает''' (<tex> a_n \downarrow </tex>).
}}
=Предел последовательности=
{{Определение
|definition=
Число <tex> a \in \mathbb R </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex> a_n </tex>, если:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>
Записывают: <tex> a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n </tex>
}}
Если последовательность имеет предел, то она ''сходится'': <tex> a_n \rightarrow a </tex>.
В определении предела последовательности <tex> \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>, строгие знаки неравенства можно заменять на нестрогие.
Также в определении предела, при выборе <tex> \varepsilon </tex> разрешено ставить ограничение на <tex> \varepsilon </tex> сверху:
<tex> 0 < \varepsilon < \varepsilon_0 </tex>.
Однако, ограничение <tex> 0 < \varepsilon </tex> обязательно.
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty \Leftrightarrow
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n < -\varepsilon </tex>
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty \Leftrightarrow
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n > \varepsilon </tex>
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty \Leftrightarrow
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : |a_n| > \varepsilon </tex>
=Ряд простейших свойств предела=
{{Утверждение
|statement=
Если <tex> \{ a_n \} </tex> сходится, то <tex> \{ a_n \} </tex> - ограничена.
|proof=
Если взять <tex> \varepsilon = 1 </tex>, то:
<tex> \exists N \in \mathbb N : \forall n > N \Rightarrow a_n \in (a - 1, a + 1) </tex>
Вне интервала <tex> (a - 1, a + 1) </tex> лежат не более, чем точки <tex> a_1, a_2, ..., a_N </tex>, а таких - конечное число.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex> a_n \rightarrow a, a_n \rightarrow b \Rightarrow a = b </tex> - единственность предела последовательности.
|proof=
<tex> |b - a| \le |a_n - a| + |a_n - b| \Rightarrow
\forall \varepsilon > 0 : |b - a| < \varepsilon \Rightarrow
|b - a| = 0 \Rightarrow a = b </tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex> a_n \le b_n \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n </tex> - предельный переход в неравенстве.
|proof=
Предположим обратное:
<tex> \lim a_n = a, \lim b_n = b, a > b </tex>
Положим <tex> \varepsilon = \frac{a - b}{3} </tex>:
<tex> \exists N_1: \forall n > N_1: a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon) </tex>
<tex> \exists N_2: \forall n > N_2: b_n \in (b - \varepsilon, b + \varepsilon) </tex>
Отрезки <tex> (a - \varepsilon, a + \varepsilon) </tex> и <tex> (b - \varepsilon, b + \varepsilon) </tex> не пересекаются, и первый лежит, по предположению,
правее второго на числовой оси.
Но <tex> \forall n > (N_1 + N_2) : a_n > b_n </tex>, получили противоречие <tex> \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n </tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
Если для последовательностей <tex> a_n, b_n, c_n </tex> выполняется:
<tex> a_n \le b_n \le c_n </tex> и <tex> a_n \rightarrow d, c_n \rightarrow d </tex>, то:
<tex> b_n \rightarrow d </tex> (принцип сжатой переменной)
|proof=
Рассмотрим отрезок <tex> [a_n, c_n] </tex>
Зафиксировав в определении предела для <tex> a_n </tex> и <tex> c_n </tex> определенный <tex> \varepsilon > 0 </tex>, '
получаем, что для какого-то <tex> N: \forall n > N: a_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon), c_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon)
\Rightarrow [a_n, c_n] \subset (d - \varepsilon, d + \varepsilon) </tex>
Но <tex> a_n \le b_n \le c_n \Rightarrow b_n \in [a_n, c_n] \Rightarrow b_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon) </tex>.
В силу того, что ранее мы могли зафиксировать любой <tex> \varepsilon > 0 </tex>, получаем, что:
<tex> \forall \varepsilon : \exists N : \forall n > N : b_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon)
\Rightarrow \lim b_n = d </tex>
}}
==Примеры==
{{Определение
|definition=
Если <tex> \lim a_n = 0 </tex>, то <tex> a_n </tex> называют '''бесконечно малой''' (б.м.) величиной,
и обозначают прописной греческой буквой (<tex> \alpha_n, \beta_n, \gamma_n, ... </tex>).
}}
<tex> \alpha_n = \frac 1n </tex> (из аксиомы Архимеда).
<tex> 0 < \varepsilon < 1, \exists N \in \mathbb N: 1 < N*\varepsilon \Leftrightarrow \frac 1N < \varepsilon </tex>
<tex> n > N \Rightarrow \frac 1n < \frac 1N < \varepsilon </tex> - выполняется для произведения <tex> \varepsilon </tex> и <tex> n > N \Rightarrow
\lim\frac 1n = 0 </tex>
===Пример 1===
<tex> a_n = 2^{\frac 1n} \rightarrow 1 \, (?)</tex>
<tex> 2^{\frac 1n} > 1 </tex>. Обозначим <tex> \alpha_n = 2^{\frac 1n} - 1 > 0 </tex>
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \Rightarrow 2 = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n*\alpha_n </tex> (используем неравенство Бернулли).
<tex> 0 < \alpha_n \le \frac 1n \Rightarrow \alpha_n </tex> - бесконечно малая.
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + </tex> (б.м.) <tex> \Rightarrow \lim 2^{\frac 1n} = 1 </tex>
Именно по этой причине говорят, что <tex> 2^0 = 1 </tex>.
===Пример 2===
<tex> a_n = n^{\frac 1n} \rightarrow 1 </tex>
<tex> n^{\frac 1n} > 1 </tex>
<tex> 0 < \alpha_n = n^{\frac 1n} - 1 </tex>
<tex> n^{\frac 1n} = \alpha_n + 1 \Rightarrow n = (1 + \alpha_n)^n =
\sum\limits_{j=0}^n {n \choose i} * \alpha_n^j \ge {n \choose 2} * \alpha_n^2 </tex>
<tex> {n \choose 2} = \frac {n(n-1)}{2} </tex>
<tex> 0 < \alpha_n^2 < \frac 2{n-1} \rightarrow 0 \Rightarrow \alpha_n^2 \rightarrow 0 </tex>
<tex> \alpha_n^2 \rightarrow 0 </tex>:
<tex> \forall \varepsilon_0 = \varepsilon^2 > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n^2 < \varepsilon_0 = \varepsilon^2 </tex>
<tex> \alpha_n^2 < \varepsilon^2 \Rightarrow \alpha_n < \varepsilon </tex> - определение предела верно и для <tex> \alpha_n </tex>
<tex> \alpha_n </tex> - бесконечно малая <tex> \Rightarrow n^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \rightarrow 1 </tex>
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> \alpha_n, \beta_n </tex> - бесконечно малые.
Тогда <tex> (\alpha_n + \beta_n), (\alpha_n * \beta_n) </tex> - также бесконечно малые.
|proof=
1) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \frac {\varepsilon}2 , \beta_n < \frac {\varepsilon}2 </tex>
<tex> |\alpha_n + \beta_n| \le |\alpha_n| + |\beta_n| < \frac {\varepsilon}2 + \frac {\varepsilon}2 = \varepsilon </tex> - для всех n, начиная с N.
2) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \varepsilon , \beta_n < 1 </tex>
<tex> |\alpha_n + \beta_n| = |\alpha_n||\beta_n| < \varepsilon * 1 = \varepsilon </tex> - для всех n, начиная с N.
}}
Таким же приемом, для произведения, доказывается, что, если <tex> \alpha_n </tex> - бесконечно малая, и <tex> a_n </tex> - ограниченная, то <tex> \alpha_n * a_n </tex> - также бесконечно малая <tex> \Rightarrow </tex> ''произведение бесконечно малой на ограниченную - также бесконечно малая''.
{{Утверждение
|statement=
Из пунктов 4 и 5 вытекает так называемая '''арифметика пределa''':
<tex> a_n \rightarrow n, b_n \rightarrow b \Rightarrow </tex>:
# <tex> (a_n \pm b_n) \rightarrow a \pm b </tex>
# <tex> (a_n * b_n) \rightarrow a * b </tex>
# Если <tex> b_n \nrightarrow 0 </tex>, то <tex> ( \frac {a_n}{b_n} ) \rightarrow \frac ab </tex>
|proof=
Докажем, например, свойство для произведения:
Представим <tex> a_n, b_n </tex> в виде: <tex> a_n = a + \alpha_n, b_n = b + \beta_n </tex>.
Тогда <tex> a_n * b_n = (a + \alpha_n) * (b + \beta_n) = a * b + \alpha_n * b + \beta_n * a + \alpha_n * \beta_n </tex>
По доказанному ранее свойству бесконечно малых, их произведение и произведение бесконечно малой на ограниченную - также бесконечно малые величины:
<tex> \alpha_n * b + \beta_n * a + \alpha_n * \beta_n \rightarrow 0 \Rightarrow a * b + \alpha_n * b + \beta_n * a + \alpha_n * \beta_n \rightarrow a * b </tex>
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
