: <tex> r = min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
}}
== Открытые множества ==
{{Определение
}}
===Свойства открытых множеств:===
# <tex> X, \varnothing \in \tau </tex> {{---}} все пространство и пустое множество открыты
# <tex> G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} \in \tau </tex> — очевидно
Если в X выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то любое множество такого класса {{---}} открытое, а пара <tex>(X, \tau)</tex> {{---}} '''топологическое пространство(ТП)'''. В этом смысле МП {{---}} частный случай ТП.
''NB'' : в топологическом пространстве не обязательно вводить
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
==Открытый шар==
Для метрических пространств основное значение имеет множество, являющееся открытым шаром(<tex> V_r </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> - метрическое пространство, <tex> r > 0, a \in X </tex>, тогда <tex> V_r(a) = \{x: \rho(x, a) < r \} </tex>
}}
<tex> X = R: V_r(a) = (a - r; a + r) </tex>
{{Теорема
|about=
Основное свойство шаров
|statement=
Пусть <tex> b \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0: V_r(b) \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex> <br \>
Простым языком: Если два открытых шара пересекаются, то существует открытый шар, принадлежащий их пересечению(вроде так?).
|proof=
Замечание - для X = R - очевидно(перечечение двух интервалов тоже есть интервал).
: Пусть <tex> y \in V_{r}(b)</tex>
: <tex> \rho (b, a_j) < r_j, j = 1,2 </tex>
: <tex> \exists r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_j) < r_j, j = 1,2.</tex>
# <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1, d_1 > 0 </tex>
# <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2, d_2 > 0 </tex>
: <tex> r = min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
}}
==Открытое множество==
{{Определение
|definition=
<tex> G \in X </tex> явяется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в обзем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
: <tex> \tau </tex> - класс открытых множеств.
: <tex> \tau </tex> = { G - открытые в МП<tex>(X, \rho)</tex> }
}}
Свойства открытых множеств:
# <tex> X = \varnothing \in \tau </tex> - пустое множество открыто
# <tex> G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_{\alpha} \in \tau </tex> - очевидно
# <tex> G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau </tex>
Доказательство свойства 3:
: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>
: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>
: По основному свойству шаров : <tex> b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow V(b) \in V_\alpha \cap V_\beta </tex>
: <tex> V_{\alpha} \cap V_{\beta} </tex> - открытый шар <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 </tex> - объединение открытых шаров - принадлежит <tex>\tau </tex> по 2 свойству.
Обычно <tex> \tau </tex> является (метрической) топологией на множестве X.
Если в X выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то любое множество такого класса - открытое, а пара <tex>(X, \tau)</tex> - '''топологическое пространство(ТП)'''. В этом смысле МП - частный случай ТП.
==Замкнутое множество==
