Изменения
Нет описания правки
'''continue'''
Длину пути можно узнать как path.size.
== Задача о коммивояжере ==
{{Задача
|definition =
'''Задача о коммивояжере''' (англ. ''Travelling salesman problem, TSP'') — задача, в которой коммивояжер должен посетить <tex> N </tex> городов, побывав в каждом из них ровно по одному разу и завершив путешествие в том городе, с которого он начал. В какой последовательности ему нужно обходить города, чтобы общая длина его пути была наименьшей?
}}
==== Варианты решения ====
[[NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах]]
Так вот задача о коммивояжере относится к классу NP-полных задач. Поэтому, рассмотрим два варианта решения с экспоненциальным временем работы.
==== Перебор перестановок ====
Можно решить задачу перебором всевозможных перестановок. Для этого нужно сгенерировать все <tex> N! </tex> всевозможных перестановок вершин исходного графа, подсчитать для каждой перестановки длину маршрута и выбрать минимальный из них. Но тогда задача оказывается неосуществимой даже для достаточно небольших <tex>N</tex>. Сложность алгоритма <tex>O({N!}\times{N})</tex>.
==== Динамическое программирование по подмножествам (по маскам) ====
Задача о коммивояжере представляет собой поиск кратчайшего гамильтонова цикла в графе.
Смоделируем данную задачу при помощи графа. При этом вершинам будут соответствовать города, а ребрам — дороги. Пусть в графе <tex> G=(V,E)</tex> <tex> N </tex>
вершин, пронумерованных от <tex>0</tex> до <tex>N-1</tex> и каждое ребро <tex>(i, j) \in E </tex> имеет некоторый вес <tex> w(i,j)</tex>. Необходимо найти гамильтонов цикл, сумма весов по ребрам которого минимальна.
==== Оптимизация решения ====
Пусть <tex>dp[mask][i]</tex> содержит булево значение — существует ли в подмножества <tex>mask</tex> гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине <tex>i</tex>.
Сама динамика будет такая: <br>
<tex>
d[mask][i] = \left\{\begin{array}{llcl}
1&;\ |mask| = 1,\ mask_i = 1\\
\bigvee_{mask[j]=1, (j, i) \in E}\limits d[mask \oplus 2^i][j] &;\ |mask| > 1,\ mask_i= 1 \\
0&;\ otherwise\\
\end{array}\right.
</tex>
Это решение требует <tex>O(2^nn)</tex> памяти и <tex>O(2^nn^2)</tex> времени. Эту оценку можно улучшить, если изменить динамику следующим образом.
Пусть теперь <tex>d'[mask]</tex> хранит маску подмножества всех вершин, для которых существует гамильтонов путь в подмножестве <tex>mask</tex>, заканчивающихся в этой вершине. Другими словами, сожмем предыдущую динамику: <tex>d'[mask]</tex> будет равно <tex>\sum_{i \in [0..n-1]}\limits d[mask][i] \cdot 2 ^i </tex>. Для графа <tex>G</tex> выпишем <tex>n</tex> масок <tex>M_i</tex>, для каждой вершины задающие множество вершин, которые связаны ребром в данной вершиной. То есть <tex>M_i = \sum_{j \in [0..n-1]}\limits 2^i \cdot ((i, j) \in E ? 1:0) </tex>.
Тогда динамика перепишется следующим образом: <br>
<tex>
d'[mask][i] = \left\{\begin{array}{llcl}
2^i&;\ |mask| = 1,\ mask_i = 1\\
\sum_{j \in [0..n-1]}\limits 2^i \cdot ((d[mask \oplus 2^i] \& M_i) \neq 0?1:0) &;\ |mask| > 1 \\
0&;\ otherwise\\
\end{array}\right.
</tex>
Особое внимание следует уделить выражению <tex>d[mask \oplus 2^i] \& M_i</tex> . Первая часть выражения содержит подмножество вершин, для которых существует гамильтонов путь, заканчивающихся в соответствующих вершинах в подмножестве <tex>mask</tex> без вершины <tex>i</tex>, а вторая — подмножество вершин, связанных с <tex>i</tex> ребром. Если эти множества пересекаются хотя бы по одной вершине (их <tex>\&</tex> не равен <tex>0</tex>), то, как нетрудно понять, в <tex>mask</tex> существует гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине <tex>i</tex>.
Окончательная проверка состоит в сравнении <tex>d[2^n - 1]</tex> c <tex>0</tex>.
Это решение использует <tex>O(2^n)</tex> памяти и имеет асимптотику <tex>O(2^nn)</tex>.
== См. также ==
*[[Кратчайший путь в ациклическом графе]]
*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]
*[[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]
*[[Задача о рюкзаке]]
*[[Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре]]
==Источники информации==
*Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++. Алгоритмы на графах. — СПб: ООО «ДиаСофтЮП», 2002.
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамильтонов_граф Гамильтонов граф]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_коммивояжёра Задача коммивояжера в русской википедии]
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Problem_des_Handlungsreisenden Задача коммивояжера в немецкой википедии]
*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. ISBN 5-7940-0114-3
*''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К.'' Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]
