Изменения
Нет описания правки
Задача о коммивояжере представляет собой поиск кратчайшего гамильтонова цикла в графе.
Зафиксируем начальную вершину <tex>s</tex> и будем искать гамильтонов цикл наименьшей стоимости — путь от <tex>s</tex> до <tex>s</tex>, проходящий по всем вершинам (кроме первоначальной) один раз. Т.к. искомый цикл проходит через каждую вершину, то выбор <tex>s</tex> не имеет значения. Поэтому будем считать <tex>s = 0 </tex>.
Подмножества вершин будем кодировать битовыми векторами, обозначим <tex>mask_i</tex> значение <tex>i</tex>-ого бита в векторе <tex>mask</tex>.
Обозначим <tex>d[i][mask]</tex> как наименьшую стоимость пути из вершины <tex>i</tex> в вершину <tex>0</tex>, проходящую (не считая вершины <tex>i</tex>) единожды по всем тем и только тем вершинам <tex>j</tex>, для которых <tex>mask_j = 1</tex> (т.е. <tex>d[i][mask]</tex> уже найденный оптимальный путь от <tex>i</tex>-ой вершины до <tex>0</tex>-ой, проходящий через те вершины, где <tex>mask_j=1</tex>. Если <tex>mask_j=0</tex>,то эти вершины еще не посещены).
*Начальное состояние — когда находимся в 0-й вершине, ни одна вершина не посещена, а пройденный путь равен <tex>0</tex> (т.е. <tex>i = 0</tex> и <tex>mask = 0</tex>).
*Для остальных состояний (<tex>i \ne 0</tex> или <tex>mask \ne 0</tex>) перебираем все возможные переходы в <tex>i</tex>-ую вершину из любой посещенной ранее и выбираем минимальный результат.
*Если возможные переходы отсутствуют, решения для данной подзадачи не существует (обозначим ответ для такой подзадачи как <tex>\infty</tex>).
Стоимостью минимального гамильтонова цикла в исходном графе будет значение <tex> d[0][2^n-1]</tex> — стоимость пути из <tex>0</tex>-й вершины в <tex>0</tex>-ю, при необходимости посетить все вершины. Данное решение требует <tex>O({2^n}\times{n})</tex> памяти и <tex>O({2^n}\times{n^2})</tex> времени.
Для того, чтобы восстановить сам путь, воспользуемся соотношением <tex> d[i][mask] = w(i, j) + d[j][mask - 2^j] </tex>, которое выполняется для всех ребер, входящих в минимальный цикл . Начнем с состояния <tex> i = 0 </tex>, <tex> mask = 2^n - 1</tex>, найдем вершину <tex>j</tex>, для которой выполняется указанное соотношение, добавим <tex>j</tex> в ответ, пересчитаем текущее состояние как <tex>i = j</tex>, <tex> mask = mask - 2^j </tex>. Процесс заканчивается в состоянии <tex>i = 0</tex>, <tex> mask = 0 </tex>.
==== Оптимизация решения ====
==Алгоритм нахождения гамильтового цикла==
Прежде чем писать код, скажем пару слов о порядке обхода состояний. Обозначим за <tex>|mask|</tex> количество единиц в маске (иначе говоря количество пройденных вершин не считая текущей). Тогда, поскольку при рассмотрении состояния <tex>\langle i, mask \rangle</tex> мы смотрим на состояния
