Изменения

В этом направлении много усилий приложили Вильям Томас '''Татт''' (''William Thomas Tutte''), Клауд '''Берж'''(''Claude Brege''), Джек '''Эдмондс'''(''Jack Edmonds'') и Тибор '''Галлаи'''(''Tibor Gallai''). 

<tex>\mathrm{odd}(G)</tex> - количество [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонент связности]] нечетного размера в <tex> G</tex>.}} {{Определение |definition='''Дефицитом''' графа <tex>G </tex> мы будем называть величину: <br>

Для любого графа <tex>G </tex> выполняется:<br>

|definition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' (англ. ''neighbors'')<tex>X</tex> определим формулой: <tex>N(X)= \{ y \in V: (x,y) \in E \}</tex>

 ==Структурная теорема Эдмондса-Галлаи==

# <tex>C(G) = V \setminus( D(G) \bigcup A(G) )</tex># <tex> \alpha (G) </tex> {{- --}} размер максимального паросочетания в <tex>G</tex> (англ. ''maximum matching in G'')

<tex>G</tex> {{- --}} фактор-критический граф <tex> \Leftrightarrow </tex> <br><tex>G</tex> {{--- }} связен и для любой вершины <tex>u \in V(G) </tex> выполняется равенство <tex> \alpha (G - u) = \alpha (G)</tex>.

#:Пусть <tex>u \in D(G)</tex>. Тогда существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]] <tex>M_u</tex> графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>u</tex>. Поскольку любое максимальное паросочетание графа <tex>G</tex> покрывает <tex>a</tex>, то <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1 </tex> и более того, если, для некоторой вершины <tex>x \in D(G)</tex>, <tex>ax \in M_u</tex>, то <tex>M_u \setminus {ax} </tex> {{--- }} максимальное паросочетание графа <tex> G - a </tex>, не покрывающее <tex> u </tex>. Таким образом, <tex>D(G - a) \supset D(G) </tex>. <br>

Предположим, что существует максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex> G - a</tex>, не покрывающее вершину <tex>v</tex> <tex> \notin D(G)</tex>. Пусть <tex> w \in D(G) </tex> {{- --}} смежная с <tex> a \in A(G)</tex> вершина, а <tex> M_w </tex>{{- --}} максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> w </tex>. Так как <tex>v</tex> <tex> \notin D(G) </tex>, максимальное паросочетание <tex> M_w </tex> покрывает вершину <tex>v</tex>. Рассмотрим граф <tex> H = G(M_w \bigcup M') </tex> {{--- }} очевидно, он является объединением нескольких путей и чётных циклов. Пусть <tex> U </tex> {{- --}} компонента связности графа <tex> H </tex>, содержащая <tex>v</tex>. Так как <tex> deg_H(v) = 1 </tex>(степень вершины), то <tex> P = H(U) </tex> {{--- }} путь с началом в вершине <tex>v</tex>. В пути <tex>P</tex> чередуются рёбра из <tex> M_w</tex> и <tex>M' </tex>, причём начинается путь ребром из <tex>M_w </tex>. Так как <tex> deg_H(a) = 1 </tex>, то вершина a либо не принадлежит пути <tex>P</tex>, либо является её концом (в этом случае последнее ребро пути принадлежит паросочетанию <tex> M_w</tex>). Рассмотрим несколько случаев: <br>

Очевидно, <tex>M_v</tex> {{- --}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>v</tex>, поэтому <tex> v \in D(G)</tex>, противоречие. <br>

[[Файл: Gallai-lema-b.png|150px|thumb|right|случай '''b''']]'''b.''' Путь <tex>P</tex> кончается ребром из <tex> M_w</tex>, вершина <tex>a </tex> {{--- }} конец пути <tex>P</tex>. (см.рисунок)<br>Рассмотрим паросочетание <tex>M_v∗ = (M_w \oplus E(P)) \bigcup \{aw\} </tex>. Тогда <tex> M_v∗ </tex> {{- --}} максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> v </tex>, поэтому <tex> v \in D(G) </tex>, противоречие.

Пусть G {{--- }} граф, <tex>U_1,{...},U_n</tex> {{--- }} компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, <tex>D_i = G(U_i), C = G(C(G))</tex>. тогда: 

# Графы <tex>D_1,{...},D_n</tex> {{- --}} фактор-критические. <br>

# Последовательно удаляя вершины множества<tex> A = A(G)</tex>, по лемме о стабильности мы получим:

# Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U_1,{...},U_n</tex>{{- --}} компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in U_i</tex> существует максимальное паросочетание <tex>M_u</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>U_i</tex> {{--- }} компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>M_u</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>D_i</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) </tex> и по теореме Галлаи(выше) мы получаем, что граф <tex>D_i</tex> {{--- }} фактор-критический.

# Пусть <tex>M</tex> {{- --}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \ge |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> {{--- }} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> {{--- }} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам 1) и 2) очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1,{...},D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1,{...},U_n</tex>.

<tex>A(G)</tex> {{- --}} '''барьер''' графа <tex>G</tex>