Изменения
Нет описания правки
|id = Лемма5
|statement =
Пусть <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>. Тогда во время выполнения алгоритма <tex> pushRealbelMaxFlow pushRelabelMaxFlow </tex> для любой вершины <tex> u </tex> в сети <tex> G </tex> верно, что <tex> h(u) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>
|proof =
По определению функции высоты <tex> h(s) = \left\vert V \right\vert </tex> и <tex> h(t) = 0 </tex>, следовательно для истока и стока утверждение леммы выполнено.
|id = Лемма6
|statement =
Пусть <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>. Тогда во время выполнения алгоритма <tex> pushRealbelMaxFlow pushRelabelMaxFlow </tex> общее число подъемов не превышает <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 </tex>
|proof =
Так как высоты истока и стока не изменяются в процессе работы алгоритма, то только <tex> \left\vert V \right\vert - 2 </tex> вершин могут быть подняты. Пусть <tex> u \in V \setminus \{s, t\}</tex>. Изначально <tex> h(u) = 0 </tex>, и по [[#Лемма5|лемме (5)]] известно, что <tex> h(u) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. А так как при выполнении операции <tex> relabel(u) </tex> высота вершины увеличивается как минимум на единицу, то максимальное количество подъемов вершины <tex> u </tex> также не превышает <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Тогда суммарно число подъемов не превышает <tex> (\left\vert V \right\vert - 2 ) \cdot (2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 </tex>.
|id = Лемма8
|statement =
Количество насыщающих проталкиваний при выполнение алгоритма <tex> pushRealbelMaxFlow pushRelabelMaxFlow </tex> не превосходит <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert \cdot \left\vert E \right\vert </tex>
|proof =
Возьмем произвольную пару вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> и рассмотрим насыщающие проталкивания по ребрам <tex> (u, v) </tex> и <tex> (v, u) </tex>. Предположим, что произошло насыщающее проталкивание по ребру <tex> (u, v) </tex>. Тогда во время проталкивания <tex> h(v) = h(u) - 1 </tex>. Для того, чтобы могло произойти еще одно насыщающее проталкивание по ребру <tex> (u, v) </tex>, мы должны для начала протолкнуть поток из <tex> v </tex> в <tex> u </tex>, чтобы ребро <tex> (u, v) </tex> снова появилось в остаточной сети. Но для этого должно выполняться условие <tex> h(v) = h(u) + 1 </tex>, то есть высота вершины <tex> u </tex> должна увеличится как минимум на 2. По [[#Лемма5|лемме (5)]] высота вершины не превышает <tex> 2 \cdot\left\vert V \right\vert - 1 </tex>, следовательно, количество раз, когда высота вершины может увеличится на 2, меньше <tex> \left\vert V \right\vert </tex>. Поскольку между двумя насыщающими проталкиваниями высота одной из вершин должна увеличится по меньшей мере на 2, то между вершинами <tex> u </tex> и <tex> v </tex> их будет не более <tex> 2 \cdot\left\vert V \right\vert </tex>. Тогда суммарно по всем ребрам во время работы алгоритма произойдут не более <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert \cdot \left\vert E \right\vert </tex> насыщающих проталкиваний.
