1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{В разработке}}
== Определение == Пусть имеется [[Отображения|функция ]] <tex>y = f(x)</tex>, заданная на <tex>[a; b]</tex>. Требуется найти функцию {{Определение|definition=Функция <tex>F(x)</tex>, такуютакая, что <tex>F'(x) = f(x) \ \forall v x \in [a; b]</tex>. Любая такая функция , называется '''первообразной ''' <tex>f</tex>.}}
{{Утверждение
Если <tex>F_1' = f, F_2' = f</tex>, то <tex>F_2 = F_1 + \mathrm{const}</tex>
|proof=
Пусть <tex>g(x) = F_2(x) - F_1(x)</tex>. <tex>F_1, F_2</tex> непрерывны(так как они имеют производную), следовательно, непрерывна и <tex>g</tex>, и можно применить теорему Лагранжа:
:<tex>g(x_2) - g(x_1) = g'(c)(x_2 - x_1)</tex>, но <tex>g' = F_2' - F_1' = 0</tex>.
Таким образом, <tex>g(x_2) = g(x_1) \ \forall x_1, x_2 \in [a; b]</tex>.
}}
:<tex>\int f(x)dx = F(x) + C</tex>.
Также принято там, где нужно принимать , понимать под <tex>\int f(x)dx</tex> конкретную первообразную.
В некотором смысле, операции [[Дифференциал и производная|дифференцирования ]] и взятия неопределённого интеграла взаимно обратны:
:<tex>\left ( \int f(x) dx \right )' = f(x)</tex>
:<tex>\int f'(x)dx = f(x)</tex>
== Формулы ==
Имеются две стандартные формулы для неопределённых интегралов.
:<tex>uv = \int (uv)'dx = \int u'v dx + \int uv' dx</tex>
:<tex>u'dx = du, \qquad v'dx = dv</tex>
:<tex>\int udv - = uv - \int vdu</tex>
2) Формула подстановки
:<tex>F(x) = \int f(x)dx, \qquad x = \varphi(t), t = \varphi^{-1}(x)</tex>:
:<tex>G(t) = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt</tex>. Докажем, что <tex>F(x) = G(\varphi^{-1}(x))</tex>. Продифференцируем левую часть уравнения:
:<tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = G'(t)t' = f(\varphi(t))\varphi'(t)t'</tex>, но <tex>t' = \frac 1{\varphi'(t)}</tex>, следовательно, <tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = f(\varphi(t)) = f(x)</tex>, что и требовалось доказать.
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Условия интегрируемости ==
Каким условиям должна удовлетворять функция <tex>f</tex>, чтобы у неё существовала первообразная?
Развивая теорию Римана, мы получим, что если <tex>f</tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, то у неё существует неопределённый интеграл.
Условие достаточное, и не описывает все функции, у которых существует первообразная, например:
:<tex>f(x) = \begin{cases}0 & x = 0\\ x^2 \sin \frac 1x & x \ne 0\end{cases}</tex>
:<tex>f'(x) = 2x \sin \frac 1x - \cos \frac 1 x, \qquad x \ne 0</tex>
:<tex>f'(0) = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac {f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \Delta x \sin \frac 1 {\Delta x} = 0</tex>
Получаем производную, разрывную в нуле. Но у этой функции существует первообразная, равная <tex>f</tex>.
Для установления точных условий интегрируемости интеграла Римана мало, для этого требуется понятие ингерала Лебега.
