1302
правки
Изменения
dpi = 150, {{---}}
Математическая индукция {{- --}} способ рассужжения, заключающийся в следующем:
Пусть имеется последовательность свойств <tex> P_1, P_2 \dots P_n </tex>
# <tex> P_1 </tex> {{- --}} истина# <tex> P_n \Rightarrow P_{n+1} </tex> {{--- }} шаг индукции# Тогда все <tex> P_n </tex> {{- --}} истинны
{{Утверждение
<tex> \forall n \in N; \forall x > -1 : {(1 + x)}^n \ge 1 + nx </tex>
|proof = <br />
# <tex> n = 1: 1 + x \ge 1 + x </tex> {{- --}} верно
# <tex> {(1 + x)}^{n + 1} = {(1 + x)}^n (1 + x) \ge (1 + nx) (1 + x) = </tex><br /><tex> = 1 + x + nx + nx^2 \ge 1 + (n + 1)x - P_{n+1} </tex>
}}
Для того, чтобы сформировать следующее утверждение, определим систему чисел, называемую биномиальными коэффициентами: <br />
:<tex> 0! = 1 \\ n! = n(n-1)! = n (n-1) (n-2) \dots 1 </tex>
:<texdpi = "150"> m \le n: C_n^m = \frac {n!} {(n-m)!m!} \\ \\ C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1} = \\ = C_n^m + C_n^{m-1} = \frac {n!} {(n-m)!m!} + \frac {n!} {(n-m+1)!(m-1)!} = \\
= \frac {n!((n - m + 1) + m)} {m!((n+1) - m)!} = \frac {n!(n+1)} {((n+1)-m)!m!} = C_{n+1}^m </tex>
<tex>a, b \in R; n \in N : {(a + b)}^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n - k} </tex>
|proof = <br />
# Для n = 1 {{- --}} очевидно
# <tex> {(a + b)}^{n + 1} = a{(a + b)}^n + b{(a + b)}^n = </tex><br />
:<tex> = \sum_{k = 0}^n C_n^k a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^n C_n^k a^k b^{n - k + 1} = </tex><br /> :<tex> = \sum_{j = 1}^{n + 1} C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + \sum_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = </tex><br /> :<tex> = C_n^n a^{n + 1} b^0 + \sum_{j = 1}^n C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + C_n^0 a^0 b^{n+1} + \sum_{i = 1}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = :</tex> <br /> :<tex> = 1 (a^{n + 1} + b^{n + 1}) + \sum_{j = 1}^n (C_n^{j - 1} + C_n^j) a^j b^{n - j + 1}</tex> <br /> :Так как <tex>1 = C_{n + 1}^{n + 1} = C_{n + 1}^0 </tex> , то <br /> :<tex> = C_{n + 1}^{n + 1} a^{n + 1} b^0 + C_{n + 1}^0 a^0 b^{n + 1} + \sum_{j = 1}^n C_{n + 1}^j a^j b^{n - j + 1}</tex> <br /> :Занесем первые два слагаемых под знак суммы и получим: <br />
:<tex> = \sum_{j = 0}^{n + 1} C_{n + 1}^j a^j b^{n + 1 - j}</tex> , что есть разложение для <tex> {(a + b)}^{n + 1} </tex>
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
