Изменения

Теорема Гринберга(англ. == Базовые определения и теоремы =={{Определение|definition='''GrinbergЦикломатическое число'''графа <tex> G </tex> обозначается через <tex> p_1(G) </tex> и определяется с помощью следующего соотношения:<center> <tex> p_1(G) = |E(G) | - необходимое условие содержания [[Гамильтоновы графы|гамильтонова цикла]] [[Укладка графа на плоскостиV(G)|планарным]] графом+ p_0(G) </tex>. '''(1.6.1)'''</center>Это число называют также числом Бетти размерности 1.}}

|about=Гринберга1.35

Пусть Цикломатическое число графа <tex>G</tex> плоский неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда <tex> G </tex> {{---}} лес.|proof=Предположим сначала, что в <tex> G </tex> нет ребер. Тогда <tex> p_1(G) = 0 </tex> (в силу соотношения '''1.6.1''' и теоремы '''1.20'''). Очевидно, что "безреберный" граф является лесом.Далее предположим, что граф без петель с гамильтоновым циклом <tex>CG </tex>есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из <tex> G </tex> рбра до тех пор, который делит плоскости на две области пока не получим безреберного графа <tex>RH </tex> . При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется (см. теоремы '''1.32''' и '''1.34'''). Следовательно, <tex>R'p_1(G) = p_1(H) = 0 </tex>.Наконец, рассмотрим случай, когда граф <tex> G </tex>не является лесом. Пусть Тогда в <tex> G </tex> содержится ребро <tex>k_iA </tex> и , не являющееся перешейком. Удаляя его из <tex> G </tex>k, мы уменьшим цикломатическое число на 1 (см. теорему '_i''1.34'''). Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через <tex> n </tex> {{---}} количества граней размера ) мы получим лес <tex>iF </tex> в . Очевидно, что <tex>Rn </tex> {{---}} положительное число, и мы имеем <tex>R'p_1(G) = n + p_1(F) = n > 0 </tex> соответственно. Тогда}}

{{Теорема|about=1.37|statement=Если <tex> T <math/tex>\sum\limits_{i=3{---}}^{дерево, то <tex> |V(GT)}| = |E(i-2T)(k_i-k'_i)=0| + 1 </mathtex>

[[Файл: HamiltonExampleR.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из гамильтонова цикла выделены красным]]Отметим, что в гамильтоновом графе Имеем <tex>Gp_0(T) = 1 </tex>, очевидно, нет [[Мост, эквивалентные определения|мостов]] и граница любой грани {{---}} простой цикл. Поэтому размер границы каждой его грани не более По теореме '''1.35''': <tex>Vp_1(GT)= 0 </tex>. Пусть <tex>e</tex> и <tex>eОстается применить соотношение ''</tex> {{---}} количества рёбер графа <tex>G</tex>, лежащих внутри областей <tex>R</tex> и <tex>R'</tex> соответственно1.6. Так как <tex>C</tex> {{---}} гамильтонов цикл графа <tex>G</tex>, то область <tex>R</tex> разбита на <tex>e + 1</tex> граней. а область <tex>R'</tex> {{---''}} на <tex>e' + 1</tex> граней. Получаем соотношения:

{{Определение|definition=Если граф <tex> G </tex> и порожденные подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex> G[Y] </tex> связны, то множество <tex> J(1X, Y) <math/tex> называется '''бондом''' графа <tex> G </tex>. Подграфы <tex> G[X] </tex> и <tex>\sum\limits_{i=3}^{V(G)}k_i=e+1[Y] </mathtex>называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <mathtex>\sum\limits_{i=3}^{VJ(X, Y) </tex> должен быть непустым множеством. Если граф <tex> G)}k'_i=e'+1</mathtex>несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.}}

Каждое внутреннее ребро области {{Определение|definition='''Гамильтоновым бондом''' называется бонд графа <tex>R</tex> входит в границы двух внутренних граней области <tex>RG </tex>, а каждое ребро цикла торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из <tex>Cp_1(G) + 1 </tex> {{---ребер.}} в границу одной внутренней грани этой области. Аналогичное соотношение верно и для <tex>R'</tex>. Следовательно,

== Теорема Гринберга =={{Теорема|about=Гринберг|statement=Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} числои вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> валентность <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) <math/tex>. Тогда:<center> <tex>\sum\limits_{in=31}^{V\infty} (Gn - 2)(f_n^{X} - f_n^{Y}i \cdot k_i) =2e+E0 </tex>. '''(C1)''' </mathcenter>|proof=Используя теорему '''1.37''', находим, что:<mathcenter> <tex>\sum\limits_{in=31}^{\infty}f_n^{V(G)X}i \cdot k'_i=2e'+|E(CX)| + 1 </mathtex> Из соотношений (1) и . '''(2) получаем''' </center>Ясно также, что:  <mathcenter> <tex>\sum\limits_{in=31}^{\infty}n f_n^{V(G)X}i= |E(k_i - k'_iH)=| + 2|E(e - eX)| </tex>. '''(3)=''' </center>Поэтому:<center> <tex> \sum\limits_{in=31}^{V\infty} (Gn - 2)f_n^{X}2= |E(k_iH)| -k2 </tex>. '''_i(4)''' </mathcenter> откуда немедленно следует доказываемое утверждениеАналогичную формулу получаем для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''(4)''', приходим к '''(1)'''.

== Источники информации ==*[http://enУ.wikipediaТатт.org/wiki/Grinberg%27s_theorem Grinberg's theorem - wikipedia]*[http://logicТеория графов.pdmiМ.ras: "Мир", 1988.ru/~dvk/211/graphs_dkс.pdf Д304.В Карпов ISBN 5-03- теория графов]*[http://www.math.yorku.ca/Who/Faculty/Steprans/Courses/1200/Tutorial4.pdf теорема Гринберга]001001-7