1302
правки
Изменения
Нет описания правки
<tex> \alpha_n = \frac 1n </tex> (из аксиомы Архимеда).
<tex> 0 < \varepsilon < 1, \exists N \in \mathbb N: 1 < N*\cdot \varepsilon \Leftrightarrow \frac 1N < \varepsilon </tex>
<tex> n > N \Rightarrow \frac 1n < \frac 1N < \varepsilon </tex> - выполняется для произведения <tex> \varepsilon </tex> и <tex> n > N \Rightarrow
<tex> 2^{\frac 1n} > 1 </tex>. Обозначим <tex> \alpha_n = 2^{\frac 1n} - 1 > 0 </tex>
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \Rightarrow 2 = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n*\cdot \alpha_n </tex> (используем неравенство Бернулли).
<tex> 0 < \alpha_n \le \frac 1n \Rightarrow \alpha_n </tex> - бесконечно малая.
<tex> n^{\frac 1n} = \alpha_n + 1 \Rightarrow n = (1 + \alpha_n)^n =
\sum\limits_{j=0}^n {n \choose j} * \cdot \alpha_n^j \ge {n \choose 2} * \cdot \alpha_n^2 </tex>
<tex> {n \choose 2} = \frac {n(n-1)}{2} </tex>
Пусть <tex> \alpha_n, \beta_n </tex> - бесконечно малые.
Тогда <tex> (\alpha_n + \beta_n), (\alpha_n * \cdot \beta_n) </tex> - также бесконечно малые.
|proof=
2) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \varepsilon , \beta_n < 1 </tex>
<tex> |\alpha_n * \cdot \beta_n| = |\alpha_n||\beta_n| < \varepsilon * \cdot 1 = \varepsilon </tex> - для всех n, начиная с N.
}}
Таким же приемом, для произведения, доказывается, что, если <tex> \alpha_n </tex> - бесконечно малая, и <tex> a_n </tex> - ограниченная, то <tex> \alpha_n * \cdot a_n </tex> - также бесконечно малая <tex> \Rightarrow </tex> ''произведение бесконечно малой на ограниченную - также бесконечно малая''.
{{Утверждение
# <tex> (a_n \pm b_n) \rightarrow a \pm b </tex>
# <tex> (a_n * \cdot b_n) \rightarrow a * \cdot b </tex>
# Если <tex> b_n \nrightarrow 0 </tex>, то <tex> ( \frac {a_n}{b_n} ) \rightarrow \frac ab </tex>
Представим <tex> a_n, b_n </tex> в виде: <tex> a_n = a + \alpha_n, b_n = b + \beta_n </tex>.
Тогда <tex> a_n * \cdot b_n = (a + \alpha_n) * \cdot (b + \beta_n) = a * \cdot b + \alpha_n * \cdot b + \beta_n * \cdot a + \alpha_n * \cdot \beta_n </tex>
По доказанному ранее свойству бесконечно малых, их произведение и произведение бесконечно малой на ограниченную - также бесконечно малые величины:
<tex> \alpha_n * \cdot b + \beta_n * \cdot a + \alpha_n * \cdot \beta_n \rightarrow 0 \Rightarrow a * \cdot b + \alpha_n * \cdot b + \beta_n * \cdot a + \alpha_n * \cdot \beta_n \rightarrow a * \cdot b </tex>
}}
