1302
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Утверждение
|statement=
Если <tex> \{ a_n \} </tex> сходится, то <tex> \{ a_n \} </tex> {{- --}} ограничена.
|proof=
Если взять <tex> \varepsilon = 1 </tex>, то:
<tex> \exists N \in \mathbb N : \forall n > N \Rightarrow a_n \in (a - 1, a + 1) </tex>
Вне интервала <tex> (a - 1, a + 1) </tex> лежат не более, чем точки <tex> a_1, a_2, ..., a_N </tex>, а таких {{- --}} конечное число.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex> a_n \rightarrow a, a_n \rightarrow b \Rightarrow a = b </tex> {{- --}} единственность предела последовательности.
|proof=
<tex> |b - a| \le |a_n - a| + |a_n - b| \Rightarrow
{{Утверждение
|statement=
<tex> a_n \le b_n \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n </tex> {{- --}} предельный переход в неравенстве.
|proof=
Предположим обратное:
Рассмотрим отрезок <tex> [a_n, c_n] </tex>
Зафиксировав в определении предела для <tex> a_n </tex> и <tex> c_n </tex> определенный <tex> \varepsilon > 0 </tex>, '
получаем, что для какого-то <tex> N: \forall n > N: a_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon), c_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon)
\Rightarrow [a_n, c_n] \subset (d - \varepsilon, d + \varepsilon) </tex>
<tex> 0 < \varepsilon < 1, \exists N \in \mathbb N: 1 < N \cdot \varepsilon \Leftrightarrow \frac 1N < \varepsilon </tex>
<tex> n > N \Rightarrow \frac 1n < \frac 1N < \varepsilon </tex> {{- --}} выполняется для произведения <tex> \varepsilon </tex> и <tex> n > N \Rightarrow
\lim\frac 1n = 0 </tex>
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \Rightarrow 2 = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n \cdot \alpha_n </tex> (используем неравенство Бернулли).
<tex> 0 < \alpha_n \le \frac 1n \Rightarrow \alpha_n </tex> {{- --}} бесконечно малая.
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + </tex> (б.м.) <tex> \Rightarrow \lim 2^{\frac 1n} = 1 </tex>
}}
Таким же приемом, для произведения, доказывается, что, если <tex> \alpha_n </tex> {{- --}} бесконечно малая, и <tex> a_n </tex> {{---}} ограниченная, то <tex> \alpha_n \cdot a_n </tex> {{---}} также бесконечно малая <tex> \Rightarrow </tex> ''произведение бесконечно малой на ограниченную {{---}} также бесконечно малая''.
{{Утверждение
