1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
</tex>
=Композиция преобразований = <tex> (g \circ f) x = g (f (x)) </tex> Задача: к точке <tex> (3, 5) </tex> применили осевую симметрию относительно <tex> O_x </tex>, и затем применили параллельный перенос на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>. Какие новые координаты у точки? Решение: обозначим нашу точку за <tex> P </tex>, новую точку за <tex> P' </tex> Посчитаем двумя способами. 1) <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot </tex><tex> (\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot </tex><tex> \left(\begin{array}{c}3\\5\\1\end{array}\right)) = </tex><tex> \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot </tex><tex> \left(\begin{array}{c}3\\-5\\1\end{array}\right) = </tex><tex> \left(\begin{array}{c}5\\-4\\1\end{array}\right) </tex> 2) Воспользуемся ассоциативностью умножения матриц (сочетательный закон) <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot </tex><tex> (\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot </tex><tex> \left(\begin{array}{c}3\\5\\1\end{array}\right)) = </tex><tex> (\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot </tex><tex> \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)) \cdot </tex><tex> \left(\begin{array}{c}3\\5\\1\end{array}\right) = Композиция </tex><tex> \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\0 & -1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot </tex><tex> \left(\begin{array}{c}3\\5\\1\end{array}\right) = </tex><tex> \left(\begin{array}{c}5\\-4\\1\end{array}\right) </tex> Заметим, что <tex> \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\0 & -1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right) </tex> {{---}} тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае "осевая симметрия относительно <tex> O_x </tex>, с последующим параллельным переносом на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>" Действительно, <tex> P' =S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(2, 1)}}(P)) =(S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) P </tex> Тогда матрица для <tex> (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) </tex> будет <tex> \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\0 & -1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right) </tex>. Получается, при композиции преобразований их матрицы перемножаются.
