308
правок
Изменения
→Композиция преобразований
<tex> (g \circ f) x = g (f (x)) </tex>
Задача: к точке <tex> (3, 5) </tex> применили осевую симметрию относительно <tex> O_x </tex>, и затем применили параллельный перенос на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>. Какие новые координаты у точки?
Решение: обозначим нашу точку за <tex> P </tex>, новую точку за <tex> P' </tex>
Посчитаем двумя способами.
1) <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) =
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot </tex>
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot </tex>
<tex> \left(\begin{array}{c}
3\\
5\\
1
\end{array}\right)) = </tex>
<tex> \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot </tex>
<tex> \left(\begin{array}{c}
3\\
-5\\
1
\end{array}\right) = </tex>
<tex> \left(\begin{array}{c}
5\\
-4\\
1
\end{array}\right) </tex>
2) Воспользуемся ассоциативностью умножения матриц (сочетательный закон)
<tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) =
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot </tex>
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot </tex>
<tex> \left(\begin{array}{c}
3\\
5\\
1
\end{array}\right)) = </tex>
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot </tex>
<tex> \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)) \cdot </tex>
<tex> \left(\begin{array}{c}
3\\
5\\
1
\end{array}\right) = </tex>
<tex> \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2\\
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot </tex>
<tex> \left(\begin{array}{c}
3\\
5\\
1
\end{array}\right) = </tex>
<tex> \left(\begin{array}{c}
5\\
-4\\
1
\end{array}\right) </tex>
Заметим, что <tex> \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2\\
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) </tex> {{---}} тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае "осевая симметрия относительно <tex> O_x </tex>, с последующим параллельным переносом на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>
Действительно, <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(2, 1)}}(P)) = (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) P </tex>
Тогда матрица для <tex> (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) </tex> будет <tex> \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2\\
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) </tex>.
Получается, при композиции преобразований их матрицы перемножаются.
