Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Манакера

1482 байта добавлено, 22:52, 10 марта 2016
Нет описания правки
Будем поддерживать границы самого правого из найденных палиндромов - <tex>[l; r]</tex>. Итак, пусть мы хотим вычислить <tex>d1[i]</tex> - т.е. длину наибольшего палиндрома с центром в позиции <tex>i</tex>. При этом все предыдущие значения в массиве <tex>d</tex> уже посчитаны. Возможны два случая:
1. # <tex>i > r</tex>, т.е. текущая позиция не попадает в границы самого правого из найденных палиндромов. Тогда просто запустим наивный алгоритм для позиции <tex>i</tex>. 2. # <tex>i \leq r</tex>. Тогда попробуем воспользоваться значениями, посчитанным ранее. Отразим нашу текущую позицию внутри палиндрома <tex>[l;r] : j = (r - i) + l</tex>. Поскольку <tex>i</tex> и <tex>j</tex> - симметричные позиции, то мы можем утверждать, <tex>d1[i] = d1[j]</tex>. Однако надо не забыть про один граничный случай: что если <tex>i + d1[j] - 1</tex> выходит за границы самого правого палиндрома? Так как информации о том, что происходит за границами это палинлрома у нас нет, то необходимо ограничить значение <tex>d1[i]</tex> следующим образом: <tex>d1[i] = min(r - i, d1[j])</tex>. После этого запустим наивный алгоритм, который будет увеличивать значение <tex>d1[i]</tex>, пока это возможно.
После каждого шага важно не забывать обновлять значения <tex>[l;r]</tex>
l = i - k
r = i + k - 1
 
===Оценка сложности===
Внешний цикл в приведенном алгоритме выполняется ровно <tex>n</tex> раз, где <tex>n</tex> - длина строки. Попытаемся понять, сколько раз будет выполнен внутренний цикл, ответственный за наивный подсчет значений. Заметим, что каждая итерация вложенного цикла приводит к увеличению <tex>r</tex> на 1. Действительно, возможны следующие случаи:
 
# <tex>i > r</tex>, т.е. сразу будет запущен наивный алгоритм и каждая его итерация будет увеличивать значение <tex>r</tex> хотя бы на 1
# <tex>i \leq r</tex>. Здесь опять два случая:
## <tex>i + d[j] - 1 \leq r</tex>, но тогда, очевидно, ни одной итерации вложенного цикла выполнено не будет
## <tex>i + d[j] - 1 > r</tex>, тогда каждая итерация вложенного цикла приведет к увеличению <tex>r</tex> хотя бы на 1.
 
Т.к. значение <tex>r</tex> не может увеличиваться более <tex>n</tex> раз, то описанный выше алгоритм работает за линейное время.
Анонимный участник

Навигация