Изменения
Доказана теорема Бернштейна, осталось чуть-чуть, помогите кто-нибудь =)
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [a; b] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
|proof=
:<tex>B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}f\left(\frac kn \right)C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>, которые называются полиномами Бернштейна функции <tex>f</tex>.
:<tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex> <tex> = \frac 1{n^2}(n^2 p^2 \cdot 1 - 2np \cdot np + np + n(n-1)p^2) = </tex> <tex dpi = "130">\frac{np - np^2}{n^2} = \frac{pq}n = \frac{x(1-x)}n</tex>, ч. т. д.
Для <tex>x \in [0; 1] \quad x(1-x) \le \frac 14</tex>. Учитывая то, что <tex>\omega(t)</tex> возрастает, окончательно получаем:
{{Лемма
|statement=<tex>|f(x)-B_n(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt n})</tex>
}}
По свойству модуля непрерывности
:<tex>\lim\limits_{n \to +0} \omega(f, h) = 0</tex>, т. е. <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta : 0 < h \le \delta \Rightarrow \omega(f, h) \le \varepsilon</tex>.
Т. к. <tex>\lim\limits_{n \to + \infty}\frac 1{2 \sqrt n} = 0</tex>, то <tex>\exists N \in \mathbb N: \frac 1{2 \sqrt N} \le \delta</tex>. Отсюда по лемме <tex>|f(x) - B_N(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt N}) \le 2 \varepsilon</tex> (по выбору <tex>N</tex> и <tex>\varepsilon</tex>) и теорема Бернштейна доказана.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
