1632
правки
Изменения
м
'''Свойства толстых деревьев:''' <br>*В толстом дереве ранга <tex>k</tex> ровно <tex>3^k</tex> узлов. <br>*Для любого натурального числа <tex>n</tex> существует лес из толстых деревьев, в котором ровно <tex>n</tex> узлов. Такой лес можно построить, включив в него столько деревьев ранга <tex>i</tex>, каково значение <tex>i</tex>-го разряда представления числа <tex>n</tex> в троичной системе счисления. Заметим, что для построения такого леса можно использовать и избыточные троичные представления.*Толстый лес из <tex>n</tex> узлов содержит <tex>O(n\log{n})</tex> деревьев.
=Толстые кучи= Здесь и далее "''Толстая куча на избыточном счетчике" '' будет заменено на более лаконичное "''Толстая куча"''.
* '''struct''' Node '''int''' key <texspan style="color:#008000">key< //tex> {{---}} ключ элемента, приписанного узлу дерева*<tex/span> '''Node''' parent<span style="color:#008000"> //tex> {{---}} указатель на родителя*узла<tex/span> '''Node''' left<span style="color:#008000"> //tex> {{---}} указатель на ближайшего левого брата*узла<tex/span> '''Node''' right<span style="color:#008000"> //tex> {{---}} указатель на ближайшего правого брата*узла<tex/span> '''Node''' lChild<span style="color:#008000"> //tex> {{---}} указатель на самого левого сына*<tex/span> '''int''' rank<span style="color:#008000"> //tex> {{---}} ранг узла.</span>
[[Файл:FatHeapExample.png |400px|thumb|right|Представление леса списком]] =Вспомогательные структуры=Нам понадобятся понятия '''корневого счетчика''' и '''счетчика нарушений'''.=Структура кучи===
<tex>fatHeap = (rootCount, countViolation, minpointer, maxRank)</tex>, где:
Определим '''Прямой указатель''' <tex>L'(i)</tex> определим следующим образом:
<br>
Величину <tex>L'(i)</tex> будем называть прямым указателем.
* <tex>===decreaseKey</tex> {{---}} <tex>O(1)</tex>===
* <tex>===deleteMin</tex> {{---}} <tex>O(\log(n))</tex>===
* <tex>===delete</tex> {{---}} <tex>O(\log(n))</tex>===Выполняем <tex>\mathrm{decreaseKey}</tex> а затем <tex>\mathrm{deleteMin}</tex>.* <tex>===meld(h1, h2)</tex> {{---}} <tex>O(\log(n))</tex>===Первый шаг — фиксируются все нарушения в куче с меньшим максимальным рангом (разрывая связь произвольно). Не уменьшая общности, считаем, что эта куча — <tex>р2</tex> . Пройти по счетчику нарушений <tex>p2</tex> от младшей цифры к старшей, пропуская цифры со значением <tex>0</tex> . Для <tex>i</tex>-й цифры <tex>d_i != 0</tex> делаем операцию фиксирования на каждой цифре, показываемой прямым указателем <tex>d_i</tex> , если эта цифра имеет значение <tex>2</tex>. Затем, если <tex>d_i = 2</tex> , фиксируем <tex>d_i</tex> . Если <tex>d_i = 1</tex> , преобразуем это <tex>i</tex>-ранговое нарушение в <tex>(i+1)</tex>-ранговое нарушение, как при фиксировании, используя <tex>i</tex>-рангового брата нарушенного узла вместо (несуществующего) другого <tex>i</tex> -рангового нарушения.Как только <tex>h2</tex> не будет содержать каких-либо нарушений, нужно вставить корни из корневого счетчика <tex>h2</tex> в корневой счетчик <tex>h1</tex> инкрементированием соответствующих цифр. Если минимальный узел <tex>h2</tex> содержит меньший ключ, чем минимальный узел <tex>h1</tex> , следует установить новым минимальным узлом <tex>h1</tex> минимальный узел <tex>h2</tex> . Затем нужно вернуть модифицированную кучу <tex>h1</tex> в качестве результата <tex>\mathrm{meld}</tex> . * <tex> ===deleteViolation</tex>===
'''if''' countViolation[i].Value == 2 fixCountViolation(i)
rollbackEdits.php mass rollback
==Толстое дерево==
{{Определение
|neat = 1
|definition=
Определяем '''толстое дерево''' (англ. ''Fat HeapThick tree'') <tex>F_k</tex> ранга <tex>k ~(k = 0, 1, 2 ~,\dots ldots )</tex> следующим образом:
*Толстое дерево <tex>F_0</tex> ранга ноль состоит из единственного узла. <br>
*Толстое дерево <tex>F_k</tex> ранга <tex>k</tex>, для <tex>k = 1, 2, 3,\dots ldots </tex>, состоит из трех деревьев <tex>F_{k-1}</tex> ранга <tex>k-1</tex>,таких, что корни двух из них являются самыми левыми потомками корня третьего.Ранг узла <tex>x</tex> в толстом дереве определяется как ранг толстого поддерева с корнем в узле <tex>x</tex>.
}}
[[Файл:FatTreesExampleFatHeap.png |400px|thumb|leftcenter|Пример толстых деревьев <tex>F_0, F_1, F_2, F_3</tex>]]
{{Определение
|id=def3
|neat =
|definition=
'''Ранг узла''' <tex>x</tex> в толстом дереве определяется как ранг толстого поддерева с корнем в узле <tex>x</tex>.
}}
===Свойства толстых деревьев===
{{Утверждение
|id=proposal1.
|author=
|about=
|statement=
В толстом дереве ранга <tex>k</tex> ровно <tex>3^k</tex> узлов.
|proof=
}}
{{Определение
|id=thin_forest_def
|definition='''Толстый лес''' (англ. ''Thick forest'') {{---}} это набор толстых деревьев, ранги которых не обязательно попарно различны.
}}
{{Утверждение
|id=proposal1.
|author=
|about=
|statement=
Для любого натурального числа <tex>n</tex> существует лес из толстых деревьев, в котором ровно <tex>n</tex> узлов.
|proof= Действительно, такой лес можно построить, включив в него столько деревьев ранга <tex>i</tex>, каково значение <tex>i</tex>-го разряда представления числа <tex>n</tex> в троичной системе счисления. Заметим, что для построения такого леса можно использовать и избыточные троичные представления.
}}
{{Утверждение
|about=
|statement=
|proof=
}}
==Толстые кучи==
{{Определение
|id=def2
'''Нагруженный лес''' назовем '''почти кучеобразным''', если для каждого значения <tex>k</tex> в нем имеется не более двух '''неправильных''' узлов ранга <tex>k</tex>.
}}
{{Определение
|id=def5
|neat =
|definition=
'''Толстая куча''' (англ. ''Thick heap, Fat heap'') — это '''почти кучеобразный''' '''нагруженный лес'''.
}}
==Представление толстой кучи= Структура узла ===
Каждый узел толстой кучи будем представлять записью со следующими полями:
"Братья" (узлы корневых деревьев, а также сыновья каждого узла) объединены в двусвязный список при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex>. У самого левого (правого) "брата" в этом списке указатель <tex>left</tex> (<tex>right</tex>) равен <tex>NULL</tex>.
Толстую кучу будем представлять записью следующего вида:
'''struct''' FatHeap '''int[]''' rootCount <texspan style="color:#008000">rootCount< //tex> {{---}} массив, соответствующий корневому счетчику</span> '''корневому счетчикуint[]''' countViolation <texspan style="color:#008000">countViolation< //tex> {{---}} массив, соответствующий счетчику нарушений</span> '''счетчику нарушенийNode''' minPointer <texspan style="color:#008000">minPointer< //tex> {{---}} указатель на элемент кучи с минимальным ключом</span> '''минимальным ключомint''' maxRank <texspan style="color:#008000">maxRank< //tex> {{---}} '''наибольший ранг''' среди рангов деревьев, присутствующих в куче</span>[[Файл:FatHeapExample.png |400px|thumb|center|Представление леса списком]]
==Избыточное представление чисел==
|neat =
|definition=
'''Избыточным''' <tex>b</tex>-арным представлением числа <tex>x</tex> будем называть последовательность <tex>d = d_n, d_{n-1}, ... \ldots, d_0</tex>, такую что<tex dpi = "150120">x = {\sum\limits^{n}_{i = 0} {d_i}}{b^i}</tex>
где <tex> d_i \in \{0, 1, ...\ldots, b\} </tex>, <tex> i \in \{0, 1, ...\ldots, n\} </tex>
}}
|neat =
|definition=
Пусть <tex>L(i)</tex> — номер разряда, отличного от <tex>b-1</tex> и ближайшего слева от <tex>i</tex>-го разряда в регулярном <tex>b</tex>-арном избыточном представлении <tex>d = d_n, ... \ldots, d_0</tex>.
<br>
*<tex>L'(i) = L(i)</tex> , если <tex>d_i \in \{b-1, b-2\}</tex> и <tex>d(L(i))=b</tex>;
*<tex>L'(i)</tex> — произвольное число <tex>>i</tex>, если <tex>d_i \in \{b-1, b-2\}</tex> и <tex>d(L(i))<b-1</tex>;
*<tex>L'(i)</tex> — не определено, если <tex>d \notin \{b-1, b-2 \}</tex> .
}}
===Фиксация цифры===
Фиксацией цифры <tex>b</tex>, стоящей в <tex>i</tex>-м разряде представления <tex>d</tex>, назовем операцию <tex>\mathrm{fix(i)}</tex>, заключающуюся в обнулении цифры <tex>d_i</tex> и инкрементировании цифры <tex> d_{i+1} </tex>, при этом если <tex>i=n</tex> , то полагаем <tex>d_{i+1} = 1</tex>. При каждом выполнении операции фиксации будем обновлять значение <tex>L'(i)</tex>. Очевидно, при <tex>b>2</tex> операцию <tex>\mathrm{fix(i)}</tex> можно выполнить следующим образом: '''void''' fix('''int''' i):
'''if''' d[i] == b
d[i] = 0
===Инкремент===
Операцию <tex>\mathrm{inc(i)}</tex> инкрементирования <tex>i</tex>-й цифры избыточного представления <tex>d</tex> можно выполнить так: '''void''' inc('''int''' i):
fix(i)
'''if''' (d[i] == b - 1) '''or''' (d[i] == b - 2)
Эта схема может быть расширена для выполнения за константное время декрементирования произвольной цифры добавлением дополнительного цифрового значения <tex>b+1</tex>.
Представление приоритетной очереди основано на использовании так называемых '''избыточных счетчиков''', позволяющих за время <tex>O(1)</tex> инкрементировать любой разряд. Заметим, что использованные здесь счетчики — лишь '''один из способов реализации''' толстых куч. На самом деле, для их реализации подойдет '''произвольный d-арный''' счетчик, при условии, что трудоемкость инкрементирования любого его разряда является константной.
}}
'''Корневой счетчик''' представляем расширяющимся массивом <tex>\mathtt{rootCount}</tex> , каждый элемент которого — запись с тремя полями:*<tex>\mathtt{rootCount[i].Value}</tex> {{---}} <tex>i</tex>-й разряд равный количеству деревьев ранга <tex>i</tex>.*<tex>\mathtt{rootCount[i].forwardPointer}</tex> {{---}} прямой указатель <tex>i</tex>-го разряда.*<tex>\mathtt{rootCount[i].listPointer}</tex> {{---}} указатель на список деревьев ранга <tex>i</tex>, присутствующих в толстой куче. Деревья в этом списке связаны при помощи указателя <tex>Right</tex> корневых узлов связываемых деревьев. Если в куче нет деревьев ранга <tex>i</tex> , то указатель <tex>\mathtt{listPointer}</tex> равен <tex>NULL</tex>. ''Заметим, что если значение равно нулю, то нам неважно значение указателя'' <tex>\mathtt{rootCount[i].listPointer}</tex>.
===Инициализация===
Чтобы время инициализации счетчиков было <tex>O(1)</tex>, используем '''поразрядную''' их инициализацию. То есть будем добавлять новые разряды только тогда, когда возникает такая необходимость, и при этом инициализировать новый разряд сразу в обоих счетчиках. Для этого мы вводим переменную <tex>\mathtt{maxRank}</tex>, которая показывает нам, какая часть массивов счетчиков используется в данный момент.
При начальной инициализации необходимо установить счетчики в состояние, которое отвечает '''пустой куче'''. Очевидно, что в пустой куче не может быть никаких нарушений.
===Обновление прямого указателя===
Обновление прямого указателя <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика заключается в выполнении следующего псевдокода:
'''void''' updateForwardPionter('''int''' i):
'''if''' rootCount[i + 1].Value == 3 - 1
rootCount[i].forwardPointer = rootCount[i + 1].forwardPointer
'''else'''
rootCount[i].forwardPointer = i + 1
===Корректировка при вставке ===
Корректировка списочной части <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика при вставке в кучу нового дерева ранга <tex>i~(\mathrm{insertTree(i,p)})</tex>. Эта процедура вставляет новое дерево ранга <tex>i</tex> (на него указывает указатель <tex>p</tex>) в списочную часть <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика <tex>\mathtt{rootCount}</tex> выглядит так: '''void''' insertTree('''int''' i, '''Node''' p):
p1 = rootCount[i].listPointer
'''if''' rootCount[i].Value <tex> \ne </tex> 0
p.left = NULL
rootCount[i].listPointer = p
===Корректировка при удалении===
Корректировка списочной части <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика при удалении из кучи дерева ранга <tex>i~(\mathrm{deleteTree(i,p)})</tex>. Эта процедура удаляет дерево ранга <tex>i</tex> (на него указывает указатель <tex>p</tex>) из списочной части <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика <tex>\mathtt{rootCount}</tex> . Будем считать, что указанное дерево присутствует в куче. Процедура заключается в выполнении следующего псевдокода: '''void''' deleteTree('''int''' i, '''Node''' p):
p1 = rootCount[i].listPointer
'''if''' p1 == p
rootCount[i].listPointer = p.right
j = 1
'''while''' (j <tex> \le leqslant </tex> rootCount[i].Value) '''and''' (p1.right <tex> \ne </tex> p):
j++
p1 = p1.right
p1.right = p.right
===Связывание трех деревьев в одно===
'''Связывание''' <tex>(\mathrm{fastening (p1, p2, p3))}</tex> трех толстых деревьев ранга <tex>i</tex> в одно толстое дерево ранга <tex>i+1</tex>. Эта функция принимает три указателя <tex>(p1, p2 ,p3)</tex> на три разных толстых дерева одного и того же ранга <tex>i</tex> и возвращает указатель на вновь сформированное дерево ранга <tex>i+1</tex> .
Процедура заключается в выполнении следующего псевдокода:
'''Node''' fastening ('''Node''' p1, '''Node''' p2, '''Node''' p3): '''if''' (p1.key <tex> \le leqslant </tex> p2.key) '''and''' (p1.Key <tex> \le leqslant </tex> p3.key)
minP = p1
p1 = p2
p2 = p3
'''if''' (p2.key <tex> \le leqslant </tex> p1.key) '''and''' (p2.key <tex> \le leqslant </tex> p3.key)
minP = p2
p1 = p1
p2 = p3
'''if''' (p3.key <tex> \le leqslant </tex> p1.key) '''and''' (p3.key <tex> \le leqslant </tex> p2.key)
minP = p3
p1 = p1
===Значение ключа элемента по указателю===
Функция <tex>\mathrm{getKey(p)}</tex> по указателю p на элемент определяет значение его ключа: <font color=green>// ''под <tex>\infty</tex> нужно понимать нейтральный относительно минимума элемент.</font> '''int''' getKey('''Node''' p):
'''if''' p == NULL
min = <tex>\infty</tex>
'''else'''
min = p.key
'''return''' min
===Узел с минимальным ключом===
Функция <tex>\mathrm{minKeyNodeRoot(p)}</tex>, которая по указателю <tex>p</tex> на списочную часть разряда корневого счетчика возвращает указатель на корневой узел с минимальным ключом: '''Node''' minKeyNodeRoot('''Node''' p):
p1 = p
minP = p1
'''return''' minP
===Операция фиксации ===Операция фиксации <tex>\mathrm{rmFixRootCount(i)}</tex>===Операция фиксации для <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика подразумевает, что его значение равно трем, а списочная часть содержит указатель на список деревьев ранга <tex>i</tex>, состоящий ровно из трех деревьев. При выполнении этой операции значение в <tex>i</tex>-м разряде — должно стать равным нулю, а значение в <tex>i</tex>-м разряде увеличиться на единицу. То есть в куче не должно остаться деревьев ранга <tex>i</tex>, а количество деревьев ранга <tex>i+1</tex> должно увеличиться на единицу. Для этого следует удалить из кучи три присутствующих в ней дерева ранга <tex>i</tex> , связать их в дерево ранга <tex>i+1</tex> и вставить вновь полученное дерево в кучу.Следует учесть, что ранг нового дерева может стать больше, чем <tex>\mathtt{maxRank}</tex>, что потребует инициализации нового разряда. Для этого необходимо увеличить значение <tex>\mathtt{maxRank}</tex> на единицу и заполнить новое поле, а также провести инициализацию нового разряда. '''void''' rmFixRootCount('''int''' i)
'''if''' maxRank == i
maxRank = i + 1
rootCount[i].listPointer = NULL
insertTree(i + 1, p)
rootCount[i + 1].Value = rootCount[i + 1].Value + 1
===Инкрементирование i-го разряда корневого счетчика===
По сравнению с описанным алгоритмом инкрементирования <tex>i</tex>-го разряда избыточного представления здесь мы должны учесть работу со списочной частью и обновить прямые указатели.
'''void''' rmIncRootCount('''int''' i,'''Node''' p)
'''if''' (rootCount[i].Value == 1) '''or''' (rootCount[i].Value == 2)
'''if''' rootCount[rootCount[i].forwardPointer].Value == 3
===Удаление дерева из кучи===
Процедура удаления дерева из кучи подразумевает наличие в куче этого дерева. Пусть удаляемое дерево имеет ранг <tex>i</tex> . Тогда значение <tex>i</tex>-го разряда избыточного корневого представления не равно нулю. То есть уменьшение этого значения на единицу не испортит регулярности представления и не потребует обновления каких-либо указателей. Необходимо лишь соответствующим образом обработать списочную часть.
'''void''' delete('''int''' i, '''Node''' p):
deleteTree(i, p)
rootCount[i].Value = rootCount[i].Value - 1
===Нахождение дерева с минимальным ключом в корне (<tex>\mathrm{minKey()}</tex>)=== '''Node''' minKey()
minP = NULL
'''for''' i = 0 to maxRank:
'''Счетчик нарушений''' представлен [[Саморасширяющийся массив|саморасширяющимся массивом]], элементы которого состоят из четырех полей:
*<tex>\mathtt{countViolation[i].Value}</tex> {{---}} количество неправильных узлов ранга <tex>i</tex> в куче.*<tex>\mathtt{countViolation[i].forvardPointer}</tex> {{---}} прямой указатель <tex>i</tex>-го разряда*<tex>\mathtt{countViolation[i].firstViolation}</tex> {{---}} указатель на неправильный узел ранга <tex>i</tex>*<tex>\mathtt{countViolation[i].secondViolation}</tex> {{---}} указатель на неправильный узел ранга <tex>i</tex>
{{Утверждение
}}
Для '''инициализации''' нового звена в счетчике нарушений необходимо лишь занулить его значение в новом разряде. Делается это только тогда, когда мы вводим в кучу новое дерево ранга <tex>\mathtt{maxRank + 1}</tex>. Это первый момент появления в куче узла ранга <tex>\mathtt{maxRank + 1}</tex>. Для тех нарушений, которые могут возникнуть в узлах ранга меньше либо равного <tex>\mathtt{maxRank + 1}</tex>, соответствующие разряды счетчика нарушений уже инициализированы, а узлов большего ранга в куче пока нет.
==Основные операции==Рассмотрим операции, которые можно производить с толстой кучей. Время работы основных операций указано в таблице:{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF* ! Операция || Время работы |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{makeHeap}</tex> {{---}} ||<tex>O(1)</tex>Заключается в инициализации счетчиков. |-align="center" bgcolor=#FFFFFF* |<tex>\mathrm{findMin}</tex> {{---}} ||<tex>O(1)</tex>Возвращает указатель на минимальный элемент. |-align="center" bgcolor=#FFFFFF* ||<tex>\mathrm{insert(key)}</tex>||<tex>O(1)</tex> |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{decreaseKey}</tex>||<tex>O(1)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{deleteMin}</tex>||<tex>O(\log(n))</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{delete}</tex>||<tex>O(\log(n))</tex>|--}align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{meld(h1, h2)} </tex>||<tex>O(1\log(n))</tex>|} ===makeHeap===Заключается в инициализации счетчиков. ===findMin===Возвращает указатель на минимальный элемент. ===insert(key)===
Чтобы выполнить эту операцию, делаем новый элемент отдельным деревом и выполняем процедуру вставки нового элемента ранга <tex>0</tex> в корневой счетчик. После этого, если необходимо, корректируем значение указателя на минимальный элемент.
Чтобы выполнить эту операцию, поступим следующим образом. Пусть <tex>x</tex> — узел, на который указывает указатель <tex>p</tex> . Вычитаем <tex>\delta</tex> из ключа узла <tex>x</tex> . Если новый ключ <tex>x</tex> меньше минимального ключа кучи <tex>H</tex>, обмениваем ключ элемента <tex>p</tex> с ключом минимального элемента. Новых нарушений операция не создаст. Пусть <tex>r</tex> — ранг <tex>x</tex> . Если <tex>x</tex> — нарушаемый узел, добавляем <tex>x</tex> как новое <tex>r</tex>-ранговое нарушение инкрементированием <tex>r</tex>-й цифры <tex>d_r</tex> счетчика нарушений.
Удаляем поддерево с корнем в минимальном узле из леса. Минимальность этого элемента гарантирует нам, что среди его детей нарушений порядка кучи не было. То есть нет необходимости работать со счетчиком нарушений. Затем вставляем в кучу все деревья с корнями, расположенными в детях удаляемого узла. Очевидно, что новый минимальный ключ — либо в корне дерева леса, либо в нарушенном узле. Выполняем поиск нового минимального элемента среди корней деревьев и нарушенных узлов.
Если минимальный элемент оказался в нарушенном узле, то обмениваем его с элементом, хранимым в корне этого дерева, корректируя корневой счетчик, если это необходимо. После замены новый минимум — в корне дерева леса. Этот корень будет новым минимальным узлом.
Для освобождения кучи от нарушений достаточно выполнить следующий псевдокод:
'''void''' deleteViolation('''Node''' h2):
'''for''' i = 0 '''to''' h2.maxRank
'''for''' i = 0 to h2.maxRank
'''if''' countViolation[i].Value == 1
fixCountViolation(i)
==См. также==* [[Тонкая куча]] ==Источникиинформации==* [http://www.intuit.ru/studies/courses/100/100/lecture/15432935?page=1 INTUIT.ru {{---}} Толстые кучи]* [httphttps://compscicenterwww.ru/programlektorium.tv/lecture/6829 14234 CS center {{---}} Приоритетные очереди]* [http://www.cs.tau.ac.il/~haimk/papers/newthin1.pdf H.Kaplan, R.Tarjan. "Thin Heaps, Thick Heaps". 2006]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]
[[Категория: Структуры данных]]
