403
правки
Изменения
м
Больше формулы
{{Определение
|definition=
<texdpi=150>T_n(f, x) = T_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)(x_0)}}{k!} (x-x_0)^k</tex> {{---}} полином
Тейлора функции <tex>f(x)</tex>
}}
Пеано
|statement=
Пусть <tex>f</tex> <tex>n</tex> раз дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>. Тогда <texdpi=150>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>. где <tex>o(a)</tex> {{---}} такая величина, что <texdpi=150>\frac{o(a)}{a} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0</tex>.
<tex>o((x - x_0)^n) = \alpha(x) (x-x_0)^n</tex>, где <tex>\alpha(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} 0</tex>.
<tex>r_0(x) = f_0(x) - T_0(x)</tex>
Нужно доказать, что <texdpi=150>\frac{r_0(x)}{(x - x_0)^n} \xrightarrow[x \to x_0] 0</tex>
<tex>T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0), \ k = \overline{0, n}</tex>
<tex>\left[(x-x_0)^n \right]^{(k)} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)(x - x_0)^{n - k}, \quad k = \overline{0, n}</tex>
<texdpi=150>\frac{r_n(x)}{T_n(x)}</tex> {{---}} неопределённость <tex>\frac00</tex>. Раскроем по правилу Лопиталя:
<texdpi=150>\frac{r_n(x)}{T_n(x)} \sim \frac{r_n^{(1)}(x)}{T_n^{(1)}(x)} \sim \cdots \sim \frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} = \frac00</tex>.
Последнюю неопределённость уже не раскрыть по правилу Лопиталя, так как следующая производная
<tex>r_n^{(n - 1)}(x)</tex> существует только в <tex>x_0</tex>, но не в её окрестности. (???)
<texdpi=150>\frac{r_n^{n - 1}(x)}{x - x_0} =</tex>(с точностью до константы(что за бред???)) <texdpi=150>\frac{r_n^{n - 1}(x) - r_n^{n - 1}(x_0)}{x - x_0} \xrightarrow[x \to x_0]{} r_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) - T_n^{(n)}(x_0) = 0</tex>
Это отношение приращения функции к приращению аргумента {{---}} по определению проиизводная.
}}
|statement=
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема в окрестности точки <tex>x_0</tex>.
Тогда <texdpi=150>\forall x \in V(x_0)\ \exists c_x \in (x_0; x) \cup (x; x_0) \ : f(x) = \sum\limits_{k = 0}{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k +
\frac{f^{(n + 1)}(x - x_0)(c_x)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1}
</tex>
<tex>f(x)</tex> {{---}} формула Тейлора с остатком по Лагранжу.
|proof=
Введём вспомогательную функцию <texdpi=150>g(t) = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x - t)^k</tex>, причём <tex>t</tex> находится
между <tex>x</tex> и <tex>x_0</tex>
Заметим, что <tex>g(x_0)</tex> {{---}} остаток в формуле Тейлора.
Найдём <tex>g'</tex>: <texdpi=150>g' = - \sum\limits_{k = 0}^n \left( \frac{-1}{k!} f^{(k + 1)}(t) (x - t)^k - k(x - t)^{k - 1} \frac1{k!} f^{(k)}(t) \right) = </tex>
<texdpi=150>= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^n f^{(k)}(t) \frac1{(k - 1)!} (x - t)^{(k - 1)} = </tex>
<texdpi=150>= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f^{(k + 1)}(t) \frac1{k!} (x - t)^k = </tex>
(суммы сокращаются) <texdpi=150>= -f^{n + 1}(t) \frac1{n!} (x - t)^n</tex>
<tex>g(x) = 0</tex>
<tex>g(x_0) = r_0(x)</tex>
<texdpi=150>g'(t) = -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!}(x - t)^n</tex>
Обозначим за <tex>\phi(t) = (x - t)^{n + 1}</tex>. Тогда <tex>\phi'(t) = -(n + 1)(x - t)^n</tex>. При <tex>t = x_0</tex>, <tex>\phi'(t) \ne 0</tex>.
Рассмотрим дробь
<texdpi=150>\frac{g(x)- g(x_0)}{\phi(x) - \phi(x_0)} =</tex> (применим к этой дроби формулу Коши для приращений) <texdpi=150>\frac{g'(c_x)}{\phi'(c_x)} = </tex><texdpi=150>= \frac{f^{(n + 1)}(c_x) (x - c_x)^n}{(n + 1)! (x - c_x)^n} = \frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!}</tex>
Но, с другой стороны, <texdpi=150>\frac{g(x) - g(x_0)}{\phi(x) - \phi(x_0)} = \frac{-r_n(x)}{-(x - x_0)^{n + 1}}</tex>
Тогда получим
<texdpi=150>\frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!} = \frac{+r_n(x)}{+(x - x_0)^{n + 1}}</tex>, что и требовалось.
}}
<tex>f'(x_0) = 0</tex>. Пусть <tex>f^{(1)}(x_0) = f^{(2)}(x_0) = \ldots = f^{(p - 1)}(t) = 0, \ f^{(p)}(x_0) \ne 0</tex>.
<tex>p</tex> {{---}} первое такое число, что производная <tex>f</tex> такого порядка в этой точке не равна 0.
По формуле Тейлора с остатком по Пеано, <texdpi=150>f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!} + o((x - x_0)^p)</tex>
<texdpi=150>f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p(1 + o(1))</tex>. При <tex>x \approx x_0, \quad 1 + o(1) > \frac12</tex>.
<tex>\mathrm{sign}(f(x)- f(x_0)) = \mathrm{sign}(f^{(p)}(x_0)(x - x_0)^p)</tex>
<tex>\left. (e^x)^{(k)} \right|_0 = 1</tex>
<texdpi=150>e^x = \sum\limits_{k = 0}^n \frac1{k!}x^k + o(x^n)</tex>
<tex>y = \sin x</tex>
<texdpi=150>\sin x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac{1}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2n + 1})</tex>
=== y = cos x ===
<tex>y = \cos x</tex>
<texdpi=150>\cos x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac1{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2n})</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
