Изменения

Пусть <tex>X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_1 \mathcal{I}_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_2 \mathcal{I}_2 \}, P</tex> — кратчайший путь в <tex>D_{M_1, M_2}(I)</tex> из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. Тогда [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов|алгоритм]] с помощью этого пути либо определяет максимальность набора <tex>I</tex>, либо позволяет найти набор большей мощности.

Пусть дан матроид <tex>M = (S, \mathcal{I})</tex> и независимый сет <tex>I \in \mathcal{I}</tex>. Тогда '''граф замен''' <tex>D_{M}(I)</tex> (или просто <tex>D(I)</tex>) {{---}} это двудольный граф с долями <tex>I</tex> и <tex>S \setminus I</tex> с рёбрами между <tex>y \in I</tex> и <tex>x \in S \setminus I</tex> если <tex> I - y + x \in \mathcal{I } </tex>

Пусть дан двудольный граф замен. В его правой доле можно выделить два подмножества вершин <tex>X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_1 \mathcal{I}_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_2 \mathcal{I}_2 \}</tex>. Пусть <tex>P</tex> — кратчайший путь из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. Рассмотрим сужение <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex> на множество вершин, лежащих в пути <tex>P</tex>.