Изменения

Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "140">\tau:a=x_0<x_1<...\hdots <x_n=b</tex> (<tex>\tau</tex> называется ''разбиением '' отрезка <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). <tex dpi = "140">\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> называется длиной обозначим как длину текущего отрезка разбиения.

<tex>rang~ \tau \stackrel{\mathrm{def}}{=} \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex><br> <tex dpi = "140">\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>\ \ \ ~f\colon { \left [ a,b \right ]} \to {\mathbb {R}}</tex><br> <tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex dpi = "140">\sigma \left ( \tau \right )</tex>) <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> ''называется интегральной суммой Римана '' по разбиению <tex>\tau</tex>.<br> <tex dpi = "140">I=$$\lim\limits_{rang~ \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon >0~\exists \delta >0: rang~ \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )</tex>

Если <tex>f \mathcal {2} in R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> — {{---}} ограничена.