748
правок
Изменения
→Свойства и эквивалентные определения
\end{array} \right.</tex> для <tex>n \geqslant 1</tex>. Заметим, что <tex>b_{4n+2}=a</tex> так как <tex>4n+2</tex> и <tex>4n+1</tex> одинаково записываются в двоичной записи, кроме последних двух битов, которые равны <tex>10</tex> и <tex>01</tex> соответственно и значит <tex>t_{4n+2}=t_{4n+1}</tex>. Так же заметим, что <tex>b_{2n+1}=1</tex>, так как <tex>2n+1</tex> и <tex>2n</tex> одинаково записываются в двоичной системе, кроме последнего бита и значит, что <tex>t_{2n+1}=\varphi(t_{2n})</tex>
#* <tex>m</tex> нечетно и <tex>m \geqslant 5</tex>.
#*:Тогда <tex>b_{k+j}=b_{k+j+m}</tex> для <tex>1 \leqslant j \leqslant m</tex>. С <tex>m \geqslant 5</tex> существует <tex>j</tex>, такое что <tex>k+j=2</tex> по модулю <tex>4</tex>. Тогда для <tex>k+j</tex> точно известно, что <tex>b_{k+j}=0</tex>, но с другой стороны <tex>k+j+m</tex> {{- --}} нечетно, значит <tex>b_{k+j+m}=1</tex>. Противоречие.
#* <tex>m=3</tex>.
#*:Аналогично: <tex>b_{k+j}=b_{k+j+3}</tex> для <tex>1 \leqslant j \leqslant 3</tex>. Найдем <tex>j</tex>, чтобы <tex>k+j=2</tex> или <tex>k+j=3</tex> по модулю <tex>4</tex>. Если <tex>k+j=2</tex> по модулю <tex>4</tex>, то противоречие получается так же, как в предыдущем пункте. Рассмотрю <tex>k+j=3</tex> по модулю <tex>4</tex>, тогда <tex>b_{k+j}=1</tex>, но <tex>b_k+j+3=0</tex>. Это опять противоречие.
#* <tex>m=1</tex>.
#*:Тогда <tex>t_k=t_{k+1}=t_{k+2}</tex> из чего следует, что <tex>t_{2n}=t_{2n+1}</tex> для <tex>n=\dfrac{k/}{2}</tex>, но <tex>t_{2n}=\varphi(t_{2n+1}) \ne t_{2n+1}</tex>. Противоречие.
}}
