577
правок
Изменения
→Асимптотика
Введем несколько обозначений. Вектора <tex>h</tex>, соответствующие множествам <tex>U</tex> и <tex>V</tex> обозначим как <tex>h^U</tex> и <tex>h^V</tex> соответственно. <tex>x(d_i)</tex> {{---}} количество временных интервалов <tex>t</tex> со свойствами
*<tex>d_i - m + 1 \leqslant t \leqslant d_i</tex>,
*<tex>h^U (t) < m</tex>.
Будем говорить, что работы могут быть выполнены ''вовремя'', если для них существует расписание, в котором эти работы успевают выполниться без опозданий.
{{Лемма
Пусть даны работы <tex>1, 2 \ldots i</tex> с дедлайнами <tex>d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_i</tex>, <tex>U = \{1, 2, \ldots i - 1\}</tex> и <tex>V = U \cup \{i\}</tex>. Тогда для всех работ <tex>j = d_i - m + 1 \ldots d_i</tex>, для которых <tex>h^U(j) < m</tex>, будет верно, что <tex>h^V(j) = h^U(j) + 1</tex>.
|proof=
Рассмотрим вектора <tex>h^U</tex> и <tex>h^V</tex> после <tex>i - 1</tex> и <tex>i</tex> итераций алгоритма. Заметим, что значения вектора <tex>h</tex>, не превосходящие <tex>m</tex>, то есть <tex>h(j) < m</tex>, никогда не уменьшаются. Следовательно, если <tex>d_i - m + 1 \leqslant j \leqslant d_i</tex> и <tex>h^U(j) < m</tex>, то <tex>h^V(j) \geqslant h^U(j) + 1</tex>. Чтобы показать, что ситуация, когда при тех же условиях <tex>h^V(j) \geqslant h^U(j) + 2</tex>, невозможна, рассмотрим расписание, построенное алгоритмом.
}}
