1632
правки
Изменения
м
Работы хранятся # Меняем делайны работ в деревесоответствии с их очередностью: для всех <tex>i, состоящем j</tex> таких, что существует ребро из <tex>ni</tex> в <tex>j</tex> вершин с фиктивной нулевой работойбудем менять <tex>{d_i}</tex> на <tex>\min ({d_i}, которая является родителем тех вершин, у которых изначально его не было. В intree{d_j} -дереве у одной вершины может быть два и более родителей1) </tex>.Решение задачи состоит из двух шагов: на первом шаге мы меняем сроки выполнения работ # Работы расставляются в соответствии с неубывающем порядке их очередностьюдедлайнов.
rollbackEdits.php mass rollback
<tex dpi = "200">P \mid Intreeintree, p_{i} = 1 \mid L_{max}</tex>
{{Задача
|definition=Рассмотрим задачу на нахождение расписания:
# У нас есть несколько станков, работающих параллельно. У станков могут быть разные скорости выполнения работ.
# Есть несколько заданий, каждое из которых имеет определенный порядок, который указан в направленном из корней в лист [[Классификация задач#intree|intree-дереведерева]], которое имеет несколько корней и один лист.
# Любая работа на любом станке выполняется единицу времени.
Требуется минимизировать максимальное опоздание <tex>L_{max} = \max\limits_i \{C_i - d_i\}</tex> .
}}
== Описание алгоритма ==
[[Файл:Intree_example.jpg|thumb|Right|Пример Intreeintree-дерева]]
=== Идея ===
Все вершины работы хранятся в качестве вершин [[Классификация задач#intree|intree-дерева]], состоящем из <tex>n</tex> вершин. В intree-дереве (англ. Intree), которое имеет несколько корней у одной вершины может быть два и один листболее родителей.Решение задачи состоит из двух шагов:
=== Псевдокод ======= Первый шаг ====На первом шаге изменения сроков состоит мы релаксируем дедлайны всех работ, кроме листовой, в следующем: для всех соответствии с предыдущим пунктом.* В массиве <tex>i, j\mathtt d</tex> таких, что существует ребро из хранятся дедлайны работ.* В массиве <tex>i\mathtt {parents}</tex> в {{---}} массив предков <tex>ji</tex> будем менять -й работы.* В переменной <tex>{d_i}\mathtt i</tex> на хранится номер листа (он один, см. условие задачи). '''Deque<int>''' deque = <tex>\varnothing</tex> deque.push(i) '''while''' '''not''' deque.isEmpty '''int''' j = deque.removeFirst() '''for''' k '''in''' parents[j] d[k] = min ({d_i}d[k], {d_j} d[j] - 1) </tex>. На втором шаге работы расставляются в неубывающем порядке сроков deque.addLast(k)
=== Первый = Второй шаг ====На втором этапе алгоритма работы сортируются в неубывающем порядке их дедлайнов. Предполагается, что работы будут занумерованы так, что <tex>d_{i} \leqslant d_{j}</tex>, если <tex>i \leqslant j</tex>.* В переменной <tex>\mathtt F</tex> хранится время, когда какой-либо станок освободится.* В массиве <tex>\mathtt r</tex> хранится информация о максимальном времени завершении обработки родителя.Алгоритм изменения сроков:* Массив <tex>\mathtt q</tex> хранит информацию о количестве работ, готовых к исполнению (находящихся в очереди) в момент времени <tex>t</tex>. deque = * Массив <tex>\mathtt x</tex> хранит информацию о начале выполнения работы <tex>i </tex>.* В массиве <tex>\midmathtt {child}</tex> хранится индекс ребенка <tex> i является листом</tex>-й работы. while deque not emptyF = 0 '''for''' '''int''' i = stack1 ..remove_firstn r[i] = 0 '''for''' '''int''' t = 0 .. n q[t] = 0 '''for''' '''int''' i = 1 .. n '''int''' t = max(r[i], F) for x[i] = t q[t] = q[t] + 1 '''if''' q[t] == m F = t + 1 '''int''' j = child[i] r[j] = max(r[j ], t + 1) В результате ответ можно получить, зная конечный массив <tex>\midmathtt x</tex> j является предком i и делайны работ: <tex>d_L_{jmax} = \minmax\limits_i (\mathtt x[i] + 1 - d_{ji}</tex>), так как все работы выполняются единицу времени, следовательно, <tex>C_{i}= \mathtt x[i] + 1</tex>. Можно заметить, что при вычислении ответа неважно, какие дедлайны использовать, начальные или релаксированные, потому что для любого <tex>k</tex> и его предка <tex>i</tex> либо производится релаксация и выполняется равенство <tex> d_{k} = d_{i} - 1)</tex>, а значит, после релаксации максимум не изменится, поскольку при замене дедлайна на меньший максимум увеличится, а новое значение <tex>L_{k}</tex> будет равно <tex>L_{i}</tex>, либо мы не делали релаксацию, и значение <tex>d_{k}</tex>, и, следовательно, <tex>L_{k}</tex> не поменяются. stack.add_last(j) === Доказательство корректности ======= Первый шаг ====
{{Лемма
|statement=
Работа с новым сроком <tex>{d'_i}</tex> в расписании не имеет опозданий тогда и только тогда, когда она не имела опозданий с оригинальным сроком <tex>{d_i}</tex>.
|proof=
<tex>\Rightarrow </tex>: Т.к. <tex>{d'_i} \leqslant {d_i}</tex>, значит, если опозданий не было со значениями <tex>{d'_i}</tex>, их не будет и со значениями <tex>{d_i}</tex>.
<tex>\Leftarrow </tex>: Пусть у нас были сроки <tex>{d_i}</tex> и мы их заменили на <tex>{d'_i}</tex> в соответствии с приведенным алгоритмом. :Пронумеруем вершины от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> в соответствии с '''обратным''' порядком обхода в алгоритме изменения сроков, причём <tex>d_{i} \leqslant d_{j}</tex>, если <tex>i \leqslant j</tex>. В соответствии с расписанием, время, когда деталь закончит обрабатываться на станке <tex>{C_i}</tex> удовлетворяет неравенству <tex>{C_i} \leqslant {d_i}</tex> для всех <tex>{C_1} \dots {C_n}</tex>. Тогда мы имеем <tex>{C_n} \leqslant {d_n} = {d'_n}</tex>. Если для какого-то <tex>1 < r \leqslant n</tex> мы имеем <tex>{C_n} \leqslant {d'_n}</tex> для <tex>i = r \dots n </tex> и существует работа <tex>j</tex> из этого промежутка, что вершина с номером <tex>r - 1</tex> является ее родителем, тогда <tex>C_{r-1} \leqslant \min(d_{r-1},d'_{j}-1) = d'_{r-1}</tex>.
}}
==== Второй шаг ===На втором этапе алгоритма работы сортируются в неубывающем порядке их дедлайнов. Предполагается, что работы занумерованы в соответствии с предыдущим пунктом, т.е. <tex>d_{i} \leqslant d_{j}</tex>, если <tex>i \leqslant j</tex>. В переменной <tex>F</tex> хранится время, когда станок освободится. В массиве <tex>r</tex> хранится информация о максимальном времени завершении обработки родителя. Массив <tex>c</tex> хранит информацию о количестве работ, готовых к исполнению (находящихся в очереди) в момент времени <tex>t</tex>. Массив <tex>x</tex> хранит информацию о начале выполнения работы <tex>i</tex>. F = 0 for i = 1 .. n r[i] = 0 for t = 0 .. n c[t] = 0 for i = 1 .. n t = max(r[i], F) x[i] = t c[t] = c[t] + 1 if n[t] == m F = t + 1 j = s[i] r[j] = max (r[j], t + 1)
Расписание, сгенерированное этим алгоритмом имеет важное свойство: число заданий в очереди в любой момент времени <tex>t</tex> меньше, чем в момент <tex>t + 1</tex>. Действительно, пусть во время <tex>t</tex> мы выполняем <tex>k</tex> работ, и хотя бы <tex>k + 1 \leqslant m</tex> работ готовы к выполению в момент времени <tex>t + 1</tex>. Но т.к. <tex>k + 1 \leqslant m</tex>, значит каждой из работ предшествовала как минимум одна, поскольку у всех вершин, кроме корней, есть как минимум один предок. Значит, в момент времени <tex>t</tex> исполнялось не менее <tex>k + 1</tex> работ, противоречие.
Если существует такое расписание, в котором ни одна из работ не будет выполнена с опозданием, то тогда это свойство сохранится в построенном данным алгоритмом расписании
|proof=
Предположим, что существует работа из <tex>x_{1} \dots x_{n}</tex> расписания, построенного алгоритмом. В таком случае существует работа, которая опоздала по отношению к измененным срокам. Возьмем наименьшее <tex>i</tex> такое, что <tex>x(i) + 1 > d'_{i}</tex>. Пусть <tex>t < d'_{i}</tex> {{---}} наибольшее из удовлетворяющих условию <tex>j < m \mid </tex>, где <tex> x(j) = t, d'_{j} \leqslant d'_{i}</tex>
Такое <tex>t</tex> существует, потому что иначе <tex>m \cdot d'_{i}</tex> работ <tex>j</tex> с <tex>d'_{j} \leqslant d'_{i}</tex> находятся в очереди до <tex>d'_{i}</tex>. Работа <tex>i</tex> к ним не принадлежит, поскольку <tex>x(i) + 1 > d'_{i}</tex>, а значит, что <tex>m \cdot d'_{i} + 1</tex> должны быть в очереди в момент времени <tex>0 \dots d'_{i}</tex> и ни одна работа не должна опаздывать. Противоречие.
Любая работа <tex>j</tex> с <tex>d'_{j} \leqslant d'_{i} </tex> и <tex> x(j) > t </tex> должна иметь предка, начавшего работать в момент времени <tex>t</tex>. Теперь рассмотрим два случая:
}}
==== Корректность алгоритма ====
{{Теорема
|statement=
Данный алгоритм корректно решает задачу <tex>P \mid Treeintree, p_{i} = 1 \mid L_{max}</tex>
|proof=
Пусть <tex>L'_{max}</tex> {{---}} оптимальное значение. В таком случае, существует расписание, удовлетворяющее <tex>\max\limits_i \{C_i - d_i\} \leqslant L'_{max}</tex>, что эквивалетно выражению <tex>C_{i} \leqslant d_{i} + L'_{max}</tex> для <tex>i = 1 \dots n </tex>. По первой лемме расписание <tex>S</tex>, построенное для сдвинутых дат <tex>d_{i} + L'_{max}</tex> удовлетворяет данным выражениям. Таким образом, оно оптимально. Нетрудно заметить, что <tex>S</tex> идентично расписанию, построенному алгоритмом, т.к. <tex>(d_{i}+L'_{max})' = d'_{i} + L'_{max} </tex> для <tex>i = 1 \dots n </tex>
}}
==== Асимптотика ====
# На первом шаге мы посещаем каждую вершину не более двух раз (первый {{---}} когда ищем вершину без родителя, второй {{---}} когда релаксируем дедлайны) за <tex>O(n)</tex> времени.
# Делаем сортировку вершин за <tex>O(n \log n)</tex>, а затем обходим все вершины по разу и считаем время начала выполнения каждой работы, в сумме за <tex>O(n)</tex>.
Итоговая сложность {{---}} <tex>O(n \log n)</tex>
==См. также==
*[[P2precpi1Lmax|<tex>P2 \mid prec, p_i = 1 \mid L_{\max}</tex>]]
*[[1outtreesumwc | <tex>1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i</tex>]]
==Источники информации==
