Изменения

{{В разработке}}Задача|definition==Алгоритм==Для заданного взвешенного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа ]] <tex>G = (V, E)</tex> алгоритм находит найти кратчайшие пути из заданной вершины <tex> s </tex> до всех остальных вершин.В случае, в случае когда в графе <tex> G </tex> содержатся отрицательные [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|циклы ]] с отрицательным суммарным весом, достижимые из <tex> s </tex> алгоритм сообщает, сообщить, что кратчайших путей не существует.}} ==Введение==Количество путей длины <tex>k</tex> рёбер можно найти с помощью метода [[Динамическое_программирование|динамического программирования]]. <br>Пусть <tex>d[k][u]</tex> {{---}} количество путей длины <tex>k</tex> рёбер, заканчивающихся в вершине <tex>u</tex>. Тогда <tex> d[k][u] = \sum\limits_{v : vu \; \in E} d[k-1][v] </tex>. Аналогично посчитаем пути кратчайшей длины. Пусть <tex>s</tex> {{---}} стартовая вершина. Тогда <tex> d[k][u] = \min\limits_{v : vu \; \in E}(d[k-1][v] \: + \: \omega(u, v))</tex>, при этом <tex>d[0][s] = 0</tex>, а <tex>d[0][u] = +\infty </tex>{{Лемма|statement=Если существует кратчайший путь от <tex>s</tex> до <tex>t</tex>, то <tex> \rho(s, \, t) \: = \: \min\limits_{k = 0..n-1} d[k][t]</tex>|proof=Пусть кратчайший путь состоит из <tex>k</tex> ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.}}

'''Bellman_Ford(G, s)for''' k = 0 '''forto''' для каждой <tex>v \in |V[G]| - 2</tex> '''do''' <texfont color="green"> d[v] \leftarrow \mathcal {1} </tex> <tex>d[s] \leftarrow 0 / вершины нумеруются с единицы</texfont> '''for''' <tex> i v \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> \mid in V[G] \mid - 1 </tex> '''do''' '''for''' для каждого ребра <tex> (u, v) \in E[G] </tex> '''do''' '''if''' <tex> d[k + 1][v] = min(d[k + 1][v] > , d[k][u] + <tex>\omega(u, v) </tex> '''then''' ) <font color="green">// <tex>d[v] \leftarrow d[u] + \omega(u, v)</tex> {{---}} вес ребра uv</font> '''for''' для каждого ребра Также релаксацию можно свести к одномерному случаю, если не хранить длину пути в рёбрах. Одномерный массив будем обозначать <tex> (u, v) \in E[G] d'</tex> '''do''' '''if''' , тогда <tex>d'[vu] > = \min(d'[u], \; d'[v] + \omega(u, vvu)) </tex> '''then''' '''return''' <tex> \mathit false</tex> '''return''' <tex> \mathit true </tex>==Корректность==

|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> -— взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — стартовая вершина. Тогда после завершения <tex> \mid V[G] \mid - 1 k</tex> итераций цикла для всех вершин, достижимых из s <tex>\mathrm{for}</tex> выполняется равенство неравенство <tex> d[v] = \delta rho(s, vu) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[i][u]</tex>.|proof=Рассмотрим произвольную вершину Воспользуемся индукцией по <tex> v k</tex> достижимую из : '''База индукции''' :При <tex> s k = 0</tex>, выполнено: <tex> p = {v_0\rho(s,..., v_{k}} u) \leqslant +\infty \leqslant +\infty </tex> '''Индукционный переход''':Сначала докажем, где что <tex> v_0 = \rho(s , u) \leqslant d'[u]</tex>, .:Пусть после <tex> v_{k} = v - 1 </tex> — кратчайший ациклический путь из итерации выполняется <tex> \rho(s , u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i=0..k-1} d[i][u]</tex> в для всех <tex> v u</tex>. Путь :Тогда после <tex> p k</tex> содержит не более итераций <tex> \mid rho(s, v) = \min\limits_{u \in V} (\rho(s, u) + \omega(uv)) \leqslant \min\limits_{u \in V} (d'[Gu] + \mid - 1 omega(uv)) = d'[v]</tex> ребер. На каждой из   :Переходим ко второму неравенству.:Теперь возможно два случая::#<tex> \mid Vmin\limits_{i = 0..k+1} d[i][Gu] \mid - = d[k+1 ][u]</tex> итераций цикла релаксируются :#<tex> \mid Emin\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[j][Gu] =\min\mid limits_{i = 0..j} \; d[i][u]</tex> ребер. Среди ребер, прорелаксированных во время i-й итерации находится ребро   :Рассмотрим 1 случай:::<tex> (v_\min\limits_{i-= 0..k+1}, v_{d[i}) ][u] = d[k+1][u]</tex>. Поэтому выполнены равенства <br>::<tex>d'[u] \leqslant d'[v] = + \omega(vu) \leqslant d[v_{k}] = [v] + \delta omega(s, v_{k}vu) = d[k+1][u]</tex>:2 случай расписывается аналогично. Таким образом переход выполнен и <tex>\delta rho(s, v)u)\leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[i][u]</tex>выполняется.

Инициализация занимает <tex> \Theta (V) </tex> времени, каждый из <tex> \mid |V[G] \mid | - 1 </tex> проходов требует <tex> \Theta (E) </tex> времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает <tex>O(E)</tex> времени. Итого Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за <tex>O(V E)</tex> времени. ==Нахождение отрицательного цикла==Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно хранить вершины, из которых производится релаксация.  Если после <tex>|V| - 1</tex> итерации найдется вершина <tex> v </tex>, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно <tex>|V| - 1</tex> раз пройти назад по предкам из вершины <tex> v </tex>. Так как наибольшая длина пути в графе из <tex>|V|</tex> вершин равна <tex>|V| - 1</tex>, то полученная вершина <tex> u </tex> будет гарантированно лежать на отрицательном цикле.  Зная, что вершина <tex> u </tex> лежит на цикле отрицательного веса, можно восстанавливать путь по сохраненным вершинам до тех пор, пока не встретится та же вершина <tex> u </tex>. Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.  '''int[]''' negativeCycle(s)''':''' '''for''' <tex>v \in V</tex> d[v] = <tex>\mathcal {1}</tex> p[v] = -1 d[s] = 0 '''for''' i = 1 '''to''' <tex>|V| - 1</tex> '''for''' <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> d[v] = d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> p[v] = u '''for''' <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> '''for''' i = 0 '''to''' <tex>|V| - 1</tex> v = p[v] u = v '''while''' u != p[v] ans.add(v) <font color="green">// добавим вершину к ответу</font> v = p[v] reverse(ans) '''break''' '''return''' ans == Источники информации ==* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — ISBN 978-5-8459-0857-5.* [http://e-maxx.ru/algo/ford_bellman MAXimal :: algo :: Алгоритм Форда-Беллмана] [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Кратчайшие пути в графах]]