Изменения

Перечисляющая '''Полуразрешимый язык''' (англ. ''semi-decidable language'') {{---}} язык, для которого существует программа для языка <tex>p</tex> такая, что* <tex>\forall x \in L\Leftrightarrow p(x)=1</tex> - программа, по очереди выводящая все слова языка * <tex>\forall x \notin L\Leftrightarrow p(x)=0</tex>. Если слово принадлежит языку, то программа за конечное время выдаст его на выходе. Слова, не принадлежащие языку, программа выводить не будетили зависнет.

Полуразрешающая '''Перечислимый язык''' (англ. ''recursively enumerable language'') {{---}} язык, для которого существует программа для языка <tex>g</tex> такая, что <tex>g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}</tex>. Язык <tex>L</tex> называется '''коперечислимым''' (англ. ''co- программаenumerable''), которая при подаче на вход слова из языка за конечное время завершится и вернет если <tex>\overline L</tex> {{---}} перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется <tex>1\mathrm{RE} </tex>, а при подаче на вход слова не из языка может за конечное время вернуть всех коперечислимих <tex> \mathrm{co}</tex>-<tex>0\mathrm{RE}</tex>, а может и зависнуть.

Перечислимый язык Пусть имеется некоторая программа <tex>p</tex>, которая может либо завершиться за конечное время и что- языкто вернуть, для которого существует перечисляющая либо зависнуть. Запуск программы <tex>p</tex> с '''тайм-лимитом''' (англ. ''time limit'') <tex>TL</tex> будем обозначать как <tex>p|_{TL}</tex> и иметь в виду следующее: если за <tex>TL</tex> операций программа<tex>p</tex> корректно завершилась и что-то вернула, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт то же самое; если же за <tex>TL</tex> операций программа <tex>p</tex> не успела завершиться, то <tex>p|_{TL}</tex> вернёт <tex>\bot</tex> (символ зависания).

{{ОпределениеТеорема|definition id=th1Перечислимый |statement=<tex>L</tex> {{---}} перечислимый <tex>\Leftrightarrow L</tex> {{---}} полуразрешимый.|proof=<tex> \Longrightarrow </tex> : Пусть <tex>L</tex> {{---}} перечислимый язык . Тогда для него существует программа <tex>g</tex>, которая по номеру <tex>i</tex> выводит слово из <tex>L</tex>. Значит, для всех <tex>x</tex> из <tex>L</tex> путем перебора значений функции <tex>g</tex> мы можем найти такое <tex>i</tex>, что <tex> g(i) = x</tex>. Следовательно, существует программа <tex>p</tex>, такая, что <tex>\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1</tex>. Тогда <tex>L</tex> является полуразрешимым языком.  '''function''' p(x: '''int'''): '''int''' '''for''' i = 1 '''to''' <tex>\infty</tex> '''if''' g(i) == x '''return''' 1 <tex> \Longleftarrow </tex>:Пусть <tex>L</tex> {{- --}} полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа <tex>p</tex>, результат которой равен <tex>1</tex> для которого любого слова из <tex>L</tex>. Чтобы программа <tex>p</tex> не зависала на словах, которые не принадлежат <tex>L</tex>, будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска <tex>i</tex>-го слова из языка <tex>L</tex> будем перебирать <tex>k</tex> {{---}} тайм-лимит с которым будем запускать программу <tex>p</tex>. Таким образом существует полуразрешающая программа<tex>g_0</tex>, которая выводит <tex>i</tex> слово языка <tex>L</tex> с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество <tex>U</tex>, в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа <tex>g</tex> доказывает, что <tex>L</tex> является перечислимым языком.: '''function''' <tex>g_0</tex>(i: '''int'''): '''int''' cnt = 0 '''for''' k = 1 '''to''' <tex> \infty</tex> '''for''' x <tex>\in \{x_1, x_2, .., x_k\}</tex> '''if''' <tex> p|_k</tex>(x) == 1 cnt++ '''if''' cnt == i '''return''' x  '''function''' <tex>g</tex>(i: '''int'''): '''int''' <tex>U = \emptyset</tex> '''for''' j = 1 '''to''' <tex>\infty</tex> x = <tex> g_0</tex>(j) '''if''' x <tex>\notin</tex> <tex>U</tex> cnt++ '''if''' cnt == i '''return''' x U.insert(x)'''''}} {{Теорема|id=th2|statement=Любой [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки | разрешимый язык]] <tex>L</tex> является перечислимым.|proof= Любой разрешимый язык <tex>L</tex> является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то <tex>L</tex> является перечислимым.

Два определения перечислимого языка эквивалентны<tex>L</tex> {{---}} перечислим и коперечислим <tex>\Rightarrow</tex> <tex>L</tex> {{---}} [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешим]].|proof=Рассмотрим полуразрешители для <tex>L</tex> и <tex>\overline L</tex> и одновременно запустим их для одного и того же элемента <tex>x</tex>. <tex>x</tex> принадлежит либо <tex> L </tex>, либо <tex>\overline{L}</tex>, поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли <tex>x</tex> в <tex>L</tex> или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для <tex>L</tex>, то есть <tex>L</tex> {{---}} разрешимый.}} == Примеры перечислимых языков == {{Утверждение|id=st1|statement=Язык натуральных чисел перечислим.|proof=Приведём программу, перечисляющую язык натуральных чисел:  '''function''' p(i: '''int'''): '''int''' '''return''' i'''''}} {{Утверждение|id=st2|statement=Язык чётных неотрицательных чисел перечислим.

Пусть имеется перечисляющая программа для языка <tex>L</tex>, построим полуразрешающую. Сделаем это следующим образом. Получаем на вход некоторое слово <tex>w</tex>Приведём программу, запускаем перечисляющую программу. Если в процессе вывода слов встретится <tex>w</tex>, то завершаем работу, вернув <tex>1</tex>. Таким образом при подаче на вход слова из языка построенная программа вернет <tex>1</tex> и завершится. Если же мы подадим на вход слово не из языка, то построенная программа будет работать бесконечно долго, что вполне устраивает. Таким образом полуразрешающая программа построена.язык чётных неотрицательных чисел:

Теперь пусть имеется полуразрешающая программа <tex> '''function''' p</tex> для языка (i: '''int'''): '''int''' '''return''' i * 2'''''}} == Примеры коперечислимых языков == {{Утверждение|id=st2|statement=Язык нечётных неотрицательных чисел коперечислим.|proof=<tex>\overline L</tex>{{---}} язык чётных неотрицательных чисел. Так как язык чётных неотрицательных чисел перечислим, построим перечисляющуюто и язык нечётных неотрицательных чисел тоже перечислим.

: for <tex>TL</tex> }}{{Утверждение|id=st2|statement= <tex>1</tex> Язык простых чисел коперечислим.. <tex>+\infty</tex> {:: for <tex>length</tex> |proof= Пусть <tex>1L</tex> .. {{---}} язык простых чисел, тогда <tex>TL\overline L</tex> {::: for {---}} язык, состоящий из составных чисел и единицы. Покажем, что <tex>w \in overline L</tex>полуразрешим, <tex>|w| = length</tex> {а, следовательно, и перечислим согласно теореме, приведённой выше.

Построим простой полуразрешитель:::: if <tex>p|_{TL}(w)=1</tex>::::: выводим <tex>w</tex>;:::}::}:}

Если слово <tex>w</tex> принадлежит языку, то условие <tex> '''function''' p|_{TL}(wn: '''int'''): '''int''' '''for''' i =1</tex> будет выполнено для какого-то 2 '''to''' <tex>TL\lceil \sqrt{n} \rceil</tex>, а значит на выходе построенной программы рано или поздно появится <tex>w</tex>. Если же слово <tex>w</tex> не принадлежит языку, то <tex>p|_{TL}(w) '''if''' n mod i ==0 '''return''' 0 '''return''' 1</tex> ну будет выполнено ни для какого <tex>TL</tex>, а значит оно никогда не появится на выходе.'''''}}

В итоге теорема доказана{{Утверждение|id=st2|statement=Язык пар <tex>\langle n, bb(n)\rangle</tex> неперечислим.|proof=Функция [[Busy_beaver | busy beaver]] <tex>bb(n)</tex> {{---}} невычислима, следовательно такой язык неперечислим.