Изменения

<tex dpi ="200" >P2 \mid prec, p_i=Описание задачи=1 \mid L_{max}</tex> {{Шаблон:Задача|definition =

Введем понятие ''вынужденного'' дедлайна <tex>d'_i</tex> {{---}} максмальное максимальное время, до которого необходимо выполнить <tex>i</tex>-ую ю работу, чтобы успетьвыполнить все работы из <tex>S(i)</tex>, где <tex>S(i)</tex> — {{---}} множество работ, зависящих (не обязательно непосредственно) от <tex>i</tex>-ой й работы.

таких что <tex>d'_k \le leqslant d</tex>.

|statement=Пусть уже посчитаны работы для всех <tex>j \in S(i)</tex>. Тогда, если <tex>j \in S(i)</tex>, то <tex>i</tex>-ая я работадолжна быть закончена до <tex>d'_j - \lceil \fracdfrac{g(i, d'_j)}{2} \rceil</tex>. |proof=Рассмотрим все работы <tex>k \in S(i)</tex>, для которых <tex>d'_k \le leqslant d'_j</tex>. Все эти работы будут выполнены после окончания обработки детали с номером <tex>i</tex>. Для них <tex>d'_k \le leqslant d'_j</tex>. Пусть работу <tex>i</tex> закончили выполнять в

Так как в нашем распоряжении находятся две машины, то время их выполнения будет не менее, чем <tex>\lceil \fracdfrac{g(i, d'_j)}{2} \rceil</tex>. Поскольку необходимо выполнить все эти работы до <tex>d'_j</tex>, то <tex>i</tex>-ая я работа должна быть закончена до момента времени<tex>d'_j - \lceil \fracdfrac{g(i, d'_j)}{2} \rceil</tex>.

Тогда финально получаем формулу для вычисления «вынужденного» дедлайна для <tex>i</tex>-ой й работы: <tex>d'_i = \min\{d_i, \min\{d'_j - \lceil \fracdfrac{g(i, d'_j)}{2} \rceil\}\}</tex>, где <tex>j \in S(i)</tex>.

<tex>i</tex>-ой й вершины по формуле, указанной выше, после чего обновляем дедлайн этой вершины в списке <tex>L</tex>.

<tex>d'_i = \min\{d_i, \min\{d'_j - \lceil \fracdfrac{g(i, d'_j)}{2} \rceil\}\}</tex>, где <tex>j \in S(i)</tex>.

Минимум достигся достигатся либо на <tex>d_i</tex>, что невозможно в силу того, что обычные дедлайны не нарушены, либо на каком-то<tex>j \in S(i)</tex>. В этом случае, <tex>d'_i = d'_j - \lceil\fracdfrac{g(i, d'_j)}{2}\rceil</tex>.

так как осталось меньше, чем <tex>d'_j - d'_i > \lceil \fracdfrac{g(i, d'_j)}{2} \rceil</tex> единиц времени. Это

начала обработки <tex>i</tex>-ой й детали. Пусть в этом расписании существует работа, опаздывающая по обычным дедлайнам. Согласно

минимальным временем начала, то есть, удолетворяющая удовлетворяющая следующему условию: <tex>d'_i < x(i) + 1</tex>.

<tex>t</tex>, такой что <tex>t < x(i)</tex>, хотя бы одна работа с номером <tex>j</tex>, такая что <tex>d'_j \le leqslant d'_i</tex> должна быть выполнена, так как, иначе, по алгоритму, вместо <tex>i</tex> -й на этом шаге была бы выбрана работа <tex>j</tex>, имеющая меньшее

'''Первый случай''': в какой-то момент времени только одна работа с номером <tex>k</tex>, такая что <tex>d'_k \le leqslant d'_i</tex> выполнена.

<tex>j</tex>, которые выполнялись в момент времени с <tex>t+1</tex> до <tex>x(i)</tex> выполняется <tex>d'_j \le leqslant d'_i</tex>, кроме того,

<tex>\left\lceil \fracdfrac{g'(k, d'_i)}{2} \right\rceil \ge geqslant \left\lceil\fracdfrac{2(x(i) - t) - 1}{2} \right\rceil = x(i) - t</tex>

<tex>d'_k \le leqslant d'_i - \left\lceil \fracdfrac{g(k, d'_i)}2 \right\rceil</tex><tex>\le leqslant d'_i - x(i) + t < x(i) + 1 - x(i) + t = t + 1</tex>

'''Второй случай''': в каждый момент времени такой, что <tex>0 \le leqslant t < x(i)</tex> выполняются две работы. По написанному выше,для всех этих работ <tex>j</tex>, выполняется <tex>d'_j \le leqslant d'_i</tex>.

Тогда есть хотя бы <tex>2x(i) + 1</tex> работ таких, что <tex>d'_j \le leqslant d'_i < x(i) + 1</tex>.

утверждение будет верно. Также, так как <tex>d'_k + l \le leqslant d'_j + l \iff d'_k \le leqslant d'_j</tex>,

<tex>(d_i + l)' = \min\{d_i + l, \min\{d'_j + l - \lceil\fracdfrac{g(i, d'_j)}{2}\rceil\}\}</tex> для <tex>j \in S(i)</tex>.

|statement=Алгоритм строит оптимальное расписание.

В алгоритме требуется знать для двух произвольных работ, зависит ли, возможно, не непосредственно, одна от другой. Для этого нужно транзитивно замкнуть граф по отношению зависимости. Это можно сделать несколькими способами. Первый и самый простой {{---}} за <tex>\mathcal{O}(n^3)</tex> алгоритмом Флойда-УоршаллаУоршелла. Второй {{---}} при помощи метода четырех русских за <tex>\mathcal{O}(\fracdfrac{n^3}{\log n})</tex>. Третий {{---}} применить алгоритм Фишера-Мейера для построения замыкания графа за <tex>\mathcal{O}(n^{\log_2 7})</tex>. При подсчете вынужденных дедлайнов, за <tex>\mathcal{O}(n)</tex> считается вынужденный дедлайн одной работы. Так как всего работ <tex>n</tex>, суммарное время подсчета вынужденных дедлайнов {{---}} <tex>\mathcal{O}(n^2)</tex>. При, непосредственно, составлении расписания, на каждом шаге за <tex>\mathcal{O}(n)</tex> обрабатываются одна или две работы. Значит, все работы будут обработаны также за <tex>\mathcal{O}(n^2)</tex>.

При подсчете вынужденных дедлайнов, за <tex>O(n)</tex> считается вынужденный дедлайн одной работы. Так как всего работ <tex>n</tex>, суммарное время подсчета вынужденных дедлайнов Итоговая сложность {{---}} <tex>\mathcal{O}(TrCl + n^2)</tex>.

При, непосредственно, составлении расписания, на каждом шаге за <tex>O(n)</tex> обрабатываются одна или две работы== См. Значит, все работы будут обработаны также за ==* [[PpmtnriLmax|<tex>O(n^2)P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex>.]]

Итоговая сложность {{---}} <tex>O==Источники информации==* M.J. Fischer and A.R. Meyer, [http://rjlipton.files.wordpress.com/2009/10/matrix1971.pdf «Boolean Matrix Multiplication and Transitive Closure»].* P. Brucker. «Scheduling Algorithms» (TrCl + n^22006)</tex>, 5th edition, стр. 145-149.

==Ссылки==[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][http[Категория://rjlipton.files.wordpress.com/2009/10/matrix1971.pdf Алгоритм Фишера-МейераТеория расписаний]]