635
правок
Изменения
Нет описания правки
Докажем, что двоичное дерево с не менее чем <tex>n!</tex> листьями имеет глубину <tex>\Omega(n \log n)</tex>. Легко показать, что двоичное дерево высоты <tex>h</tex> имеет не более чем <tex>2^h</tex> листьев. Значит, имеем неравенство <tex>n! \leqslant l \leqslant 2^h</tex>, где <tex>l</tex> {{---}} количество листьев. Прологарифмировав его, получим:
<tex> h \geqslant \log_2 n! = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n ></tex> <tex>\dfrac{n/}{2 } \log_2 (\dfrac{n/}{2}) = \dfrac{n/}{2}(\log_2 n - 1) = \Omega (n \log n)</tex>
Итак, для любого алгоритма сортировки сравнениями, существует такая перестановка, на которой он выполнит <tex>\Omega(n \log n)</tex> сравнений, ч. т. д.
