Изменения

# <tex>(X, \rho)</tex> {{---}} МП. <tex>\forall Y \subset X : (Y, \rho)</tex> {{---}} МП.# <tex>x \in A</tex>. <tex>A</tex> {{---}} окрестность точки <tex>x</tex>, если <tex>\exists V: x \in V \subset A </tex><tex>O(x)</tex> {{---}} окрестность точки <tex>x</tex>. <tex> V_r(x) = O(x)</tex>(в частности).= Подмножества метрического пространства ==

Числовая прямая Если <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} окрестность любого числа[[метрическое пространство]], то <tex>\forall Y \subset X : (Y, \rho)</tex>, очевидно, тоже метрическое пространство.

<tex>A, b \in X</tex>. <tex>b</tex> является предельной точкой для <tex>A</tex>, если == Окрестность точки в любой <tex>O(b)</tex> находится бесконечное число точек, принадлежащих <tex>A</tex>.метрическом пространстве ==

Пример:: Если <tex> x \mathbb Rin A</tex>, то <tex>A = (0; 1);</tex> {{---}} окрестность точки <tex>x</tex>, если <tex>\exists V: x \ 0 in V \notin subset A</tex>, <tex>0O(x)</tex> {{---}} предельная точка(как и окрестность точки <tex>1x</tex>, например).

* Любой открытый шар <tex> f: A \rightarrow Y, b = \lim\limits_{x \rightarrow a} fV_r(x), b \in Y</tex> , т.е. является окрестностью точки <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho(x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho(f(x), b) < \varepsilon </tex>.

Так как <tex>a</tex> * Числовая прямая {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, то у нас есть гарантии, что <tex>0 < \rho(x, a) < \delta</tex> выполнимо для бесконечного окрестность любого числа <tex> x \in A</tex>. Отметим: если <tex>a \in A</tex>, то <tex>f(a)</tex> нас не интересует.

== Предельная точка == {{Определение|definition = Рассмотрим <tex>A \subset X</tex>. Тогда <tex>b \in X</tex> {{---}} '''предельная точка''' для <tex>A</tex>, если в любой окрестности <tex>O(b)</tex> содержится бесконечное число точек, принадлежащих <tex>A</tex>.}} === Примеры === #<tex> X = \mathbb R, A = (0; 1);\ 0 \notin A</tex>, <tex>0</tex> {{---}} предельная точка(как и <tex>1</tex>, например).#Пусть <tex> A \subset X</tex> и <tex>\ a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>. Рассмотрим два метрических пространства <tex> (X,\rho) </tex> и <tex> (Y, \bar \rho) </tex>.: Пусть <tex> f: A \rightarrow Y, b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y</tex> , т.е. <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho(x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho(f(x), b) < \varepsilon </tex>.: Так как <tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, то у нас есть гарантии, что <tex>0 < \rho(x, a) < \delta</tex> выполнимо для бесконечного числа точек <tex> x \in A</tex>. Отметим: если <tex>a \in A</tex>, то <tex>f(a)</tex> нас не интересует.: Например: <tex>\mathbb R : f:(a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a</tex> {{---}} предельная точка.::<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \epsilon varepsilon </tex>::{{TODO|t=что-то обрезано вначале}} <tex>a \in A, \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)</tex>, тогда <tex>f</tex> непрерывна в точке <tex>a</tex>.