Изменения
Нет описания правки
{{Задача|definition =Дано две квадратных матрицы <tex>A_{[n \times n]}</tex> и <tex>B_{[n \times n]}</tex>, состоящие из нулей и единиц. Нужно найти их произведение. При этом, все операции выполняются по модулю <tex>2</tex>.}}</noinclude><includeonly>{{#if: {{{neat|}}}|<div style= Постановка задачи "background-color: #fcfcfc; float:left;"><div style="background-color: #ddd;">'''Задача:'''</div><div style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; font-style: italic;">{{{definition}}}</div></div>|<table border="0" width="100%"><tr><td style="background-color: #ddd">'''Задача:'''</td></tr><tr><td style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; background-color: #fcfcfc; font-style: italic;">{{{definition}}}</td></tr></table>}}</includeonly>== Простое решение ==
Сейчас будет показано, как немного уменьшить это время. == Простое решение Сжатие матриц == Для выполнения сжатия матриц выполним следующий предподсчёт : для всех возможных пар двоичных векторов длины <tex>k</tex> подсчитаем и запомним их скалярное произведение по модулю <tex>2</tex>. Возьмём первую матрицу. разделим каждую её строку на куски размера <tex>k</tex>. Для каждого куска определим номер двоичного вектора, который соответствует числам, находящимся на этом куске. Если кусок получился неравным по длине <tex>k</tex>(последний кусок строки), то будем считать, что в конце в нём идут не влияющие на умножение нули. Получим матрицу <tex dpi=140>A'_{n \times \lceil\frac{n}{k} \rceil}</tex>. Аналогично поступим с матрицей <tex>B</tex>, вместо строк деля столбцы. Получим матрицу <tex dpi=140>B'_{\lceil\frac nk\rceil\times n}</tex>. Теперь, если вместо произведения матриц <tex>A</tex> и <tex>B</tex> считать произведение новых матриц <tex>A'</tex> и <tex>B'</tex>, воспользовавшись посчитанными скалярными произведениями, то каждый элемент матрицы <tex>C</tex> будет получаться уже за время, пропорциональное <tex>\lceil \dfrac{n}{k} \rceil</tex> вместо <tex>n</tex>, и время произведения матриц сократится с <tex>O(n^3)</tex> до <tex>O(n^2 \cdot\dfrac nk) = O(\dfrac{n^3}{k}) </tex>. == Оценка сложности алгоритма и выбор k ==[[Файл:exampleFourRussiansAlgoFinalPicture.png|500px|right]] Оценим асимптотику данного алгоритма. * Предподсчёт скалярных произведений работает за <tex>O(2^{2k}k)</tex>.* Создание матриц <tex>A'</tex> и <tex>B'</tex> {{---}} <tex>O(n^2)</tex>.* Перемножение полученных матриц {{---}} <tex>O(\dfrac{n^3}{k})</tex>. Итого: <tex>O(2^{2k}k) + O(\dfrac{n^3}{k})</tex>.Выбрав <tex>k = \log n </tex>, получаем требуемую асимптотику <tex>O(n^2 \log n) + O(\dfrac{n^3}{\log n}) = O(\dfrac{n^3}{\log n})</tex>
<tex> A =</tex><tex>\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)</tex>, <tex> B = Предподсчёт ==</tex><tex>\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)</tex>
<tex> C =A' \times B' = Оценка трудоёмкости и выбор k ==</tex><tex>\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)</tex>
== Источники информации ==* Предподсчёт скалярных произведений работает за <tex>O(2^{2k}k)</tex>''Gregory V.* Создание матриц <tex>ABard'' — ''Accelerating Cryptanalysis with the Method of Four Russians'</tex> и <tex>B'</tex> {{---}} <tex>O(N^2)</tex>* Перемножение полученных матриц {{---}} <tex dpi=140>O(\frac{n^3}{k})</tex>. July 22, 2006. Страница 5