Изменения

<br><tex> \Leftrightarrow </tex>

<br><tex> [[x]] = [[y]] </tex>

(<tex> s </tex> {{---}} начальное состояние).

}}

<tex>\Rightarrow</tex>

<br/>

Данный факт был показан в доказательстве предыдущей леммы, он не требует минимальности автомата.

<tex>\Leftarrow</tex>

<br/>

Пусть <tex>[[x]] = [[y]]</tex> и <tex>q \in Q</tex>. Тогда <tex>q = s \cdot u</tex> для некоторого слова <tex>u</tex>. Пусть <tex>q_1 = f_x(q) = s \cdot ux</tex> и <tex>q_2 = f_y(q) = s \cdot uy</tex>. Поскольку <tex>[[x]] = [[y]]</tex>, справедливо <tex>uxv \in L \quad \Leftrightarrow \quad uyv \in L</tex>. Следовательно, <tex>q_1 \cdot v \in T \Leftrightarrow q_2 \cdot v \in T</tex>, то есть <tex>q_1</tex> и <tex>q_2</tex> эквивалентны. Значит, <tex>q_1 = q_2</tex>, так как автомат <tex>\mathcal{A}</tex> минимален. То есть, <tex>f_x = f_y</tex>.

}}