Изменения
Нет описания правки
}}
{{Определение
|definition = Функция <tex>U : \mathbb{N }\ \times \mathbb{N }\ \rightarrow \mathbb{N }\ \cup \lbrace \bot \rbrace</tex> называется '''универсальной '''(англ. ''universal function'') для класса [[Вычислимые функции|вычислимых функций]] одного аргумента, если <tex>\forall n \in \mathbb{N}\</tex> <tex>U_n(x) = U(n, x)</tex> («сечение» функции <tex>U</tex> при фиксированном <tex>n</tex>) является вычислимой функцией и для любой вычислимой функции <tex>f</tex> <tex>\exists n \in \mathbb{N }\ : f(x) = U(n, x)</tex>.
}}
Менее формально, для универсальной функции должно выполняться следующее: «сечение» функции <tex> U_n </tex> является вычислимой функцией и все вычислимые функции одного аргумента встречаются среди <tex>U_n</tex> (отсюда универсальность). Универсальная функция нужна, например, для того, чтобы показать, что существует перечислимое неразрешимое множество (на самом деле это множество таких <tex> n </tex>, для которых <tex> U(n, n) </tex> определено).
{{Теорема
|statement = Для класса вычислимых функций одного аргумента существует вычислимая универсальная функция.
|proof = Занумеруем программы нашего языка натуральными числами. Рассмотрим функцию <tex>U(n, x) = p_n(x)</tex>, где <tex>p_n</tex> — <tex>n</tex>-ая программа в указанной нумерации. Для любой вычислимой функции <tex>f</tex> <tex>\exists n \in \mathbb{N }\ : f(x) = p_n(x) = U(n, x)</tex>. <tex>\forall n \in \mathbb{N}\</tex> <tex>U_n(x) = U(n, x) = p_n(x)</tex>, очевидно, является вычислимой функцией. Значит <tex>U(n, x)</tex> — универсальная функция для класса вычислимых функций одного аргумента. Очевидно, что <tex>U(n, x)</tex> вычислима. Действительно, для того, чтобы вычислить <tex>U(n, x)</tex>, достаточно вернуть вывод программы <tex>p_n</tex> на входе <tex>x</tex>.
}}
{{Теорема
|statement = Для класса всюду определенных вычислимых функций одного аргумента не существует всюду определенной вычислимой универсальной функции.
|proof = Докажем от противного. Пусть <tex>U(n, x)</tex> — всюду определенная вычислимая универсальная функция для класса всюду определенных вычислимых функций одного аргумента. Воспользуемся теперь диагональным методом. Рассмотрим всюду определенную вычислимую функцию одного аргумента <tex>d(x) = U(x, x) + 1</tex>. <tex>\exists n \in \mathbb{N }\ : d(x) = U(n, x)</tex> в силу того, что <tex>U(n, x)</tex> — универсальная для соответствующего класса функций. Так как <tex>d(x)</tex> всюду определена, то она не зависает на аргументе <tex>n</tex>. Значит <tex>d(n) = U(n, n)</tex>, но в то же время <tex>d(n) = U(n, n) + 1</tex>. Противоречие.
}}
Отметим, что функция <tex>u(n) = U(n, n)</tex> называется диагональной (отсюда и пошло название метода).
