Изменения
→Работа со списками фиксированной длины
[[Лекция 6 | <<]][[Геделева нумерацияАрифметические функции и отношения. Арифметизация доказательств Их выразимость в формальной арифметике | >>]]
[[Категория: Математическая логика]]
== Рекурсивные функции ==
===Строительные блоки рекурсивных функций===
Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:
<ol>
<li> <tex>\mathrm{Z}</tex> {{---}} ноль. </li>
<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) ===Примитивно рекурсивные функции===x_i</tex> <li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li>
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1, \ldots, x_m) ==== Основные определения ====Рассмотрим следующие правила преобразования функций:\mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m), \ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))</tex>
<li> <tex>\mathrmmu</tex> {{g---}(x_1,\ldots,x_n,0)=\mathrm{f}(x_1,\ldots,x_n)минимизация.</texli>
Если <tex>\mathrm{gf}(x_1: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>,то <tex>\mu \langle{}\ldotsmathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>,x_n,y+1)=при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{hf}\rangle (x_1,\ldots,x_n,)</tex> — такое минимальное число <tex>y</tex>,что <tex>\mathrm{gf}(x_1,\ldots, x_n,y))= 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.</ol>{{Определение|definition=Если некоторая функция <tex>\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>может быть задана с помощью данных примитивов(англ. ''primitive''), то она называется '''рекурсивной''' (англ. ''recursive''). }}
{{Определение
|definition=
'''Примитивно рекурсивными''' (англ. ''Primitively recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции <tex> \mathrm{I}(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> \mathrm{P_{n,k---}}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \le n 5</tex>.
}}
Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.{{Определение|definition='''Тотальность''' (англ. ''Total Function'') {{---}} функция, определенная для всех возможных входных данных.}}
Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:
*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
*В дальнейшем вместо правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{P_F}(x,y) =\mathrm{n,kf}(\mathrm{g}(x_1y),\ldotsmathrm{h}(x,x_kx,y)) </tex> будем писать просто эквивалентна <tex> x_k \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, подразумевая требуемое нам но если <tex> \mathrm{F} </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент. == Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях == ==== '''n '''-местный ноль ====<tex> \textbf 0 </tex>{{---}} функция нуля аргументов. <tex> \textbf 0^{1}(y) = \mathrm{Z}(y) </tex>
<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) ==== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ====\mathrm{Z}(y) </tex>
<tex> \textbf 0^M(x) = \underbrace{1\mathrm{N}(0\ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x)))) = \textbf 0 </tex>
<tex> \textbf 0M^n </tex> {1}(y+1) = \mathrm{h---}(y,\textbf 0^{1}(y)) <tex>n</tex>-местная константа, где получается аналогичным к <tex> \mathrm{h}(x,y) = y textbf 0^n </tex> образом.
<tex> \textbf 0^mathrm{nf}(x_1,\ldots,x_{n-1},0x) = \textbf 0^{n-1} x </tex>
<tex> \textbf 0^mathrm{ng}(x_1x,\ldotsy,x_{n-1},y+1z) = \mathrm{hN}(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x_1,\ldots, x_n,yz) = y </tex>
<tex> \textbf M^n mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x) & y = 0\\ \mathrm{g}(x, y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0\end{array}\right.</tex> <tex>=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y- n местная константа, получается аналогичным к 1)) & y > 0 \end{array}\right.</tex> <tex> =\textbf left\{\begin{array} {ll} x & y = 0^n \\ \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y > 0 \end{array}\right. </tex> образом Можно преобразовать в более простой вид.
<tex> \mathrm{sum}(x,0) = x </tex>
<tex> \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{hN}(x,y,\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{I}(z) </tex>
<tex> \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{hsum}(x,y,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{sum}(x,z) </tex>
Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex>
<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf mathrm{Z}(0 ) </tex>
<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = \mathrm{h}(x,\mathrm{sub_1}(x)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y) = x </tex>
Теперь рассмотрим <tex> \mathrm{sub}(x,y) </tex>
<tex> \mathrm{sub}(x,0) = x </tex>
<tex> \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{hsub_1}(x,y,\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) =\mathrm{sub_1}(z) </tex>
<tex> \mathrm{eq}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> \mathrm{eq}(x,y) = 0 </tex>
<tex> \mathrm{le}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \le leqslant y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lq}(x,y) = 0 </tex>
<tex> \mathrm{lower}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lower}(x,y) = 0 </tex>
Сначала выразим <tex> \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) </tex>
<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{IN}(\textbf 0) </tex>
<tex> \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \textbf 0^2mathrm{Z}(x,y-1) </tex>
Теперь все остальные функции
<tex> \mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x)) </tex>
<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{IN}(x),y)) </tex>
===== IF =Условный оператор ====
<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex>
<tex> \mathrm{if}(c+1,x,y) = \mathrm{h}(c,x,y,\mathrm{if}(c,x,y)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(c,x,y,d) = x </tex> ===== Деление ===== <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.
Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(0x,y) =\textbf 0^</tex> {{1---} } функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>.
<tex> \mathrm{divmax}(x+10,y) = \mathrm{hZ}(x,y,\mathrm{divmax}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{I}(x),z),y),\mathrm{I}(x),z) </tex>,
Теперь само деления
<tex> \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^{1} </tex> <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{I}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{IZ}(x),y))) </tex>
Остаток от деления выражается так:
<tex> \mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y))) </tex>
элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.
==Теоремы===== Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ====
{{Теорема
|statement= Если для [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> \mathrm{F} </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> \mathrm{T} </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> \mathrm{F}(x) </tex> на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно <tex> \mathrm{T}(args) </tex>, то <tex> \mathrm{F} </tex> примитивно рекурсивная функция.
Каждому состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где:
*<tex> L </tex> {{- --}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.
*<tex> R </tex> {{- --}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.
*<tex> S </tex> {{- --}} номер текущего состояния.
*<tex> C </tex> {{- --}} символ на который указывает головка ленты.
Тогда всем переходам соответствует функция <tex> \mathrm{f}([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] и возвращающая новое состояние.
Рассмотрим функцию двух аргументов <tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) </tex> которая принимает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] , число шагов <tex> t </tex> и возвращает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] после <tex> t </tex> шагов.
Покажем что <tex>\mathrm{N}</tex> {{- --}} примитивно рекурсивная функция.
<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] </tex>
<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1]) </tex>
Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> \mathrm{T}(args) </tex> и в итоге получим что <tex> \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) </tex> - примитивно рекурсивная функция. }} == Арифметические функции и отношения. Их выразимость в формальной арифметике == Введем обозначение. Будем говорить, что <tex>\alpha (x_1, \dots x_n)</tex> — это формула с <tex>n</tex> свободными переменными, если переменные <tex>x_1, ... x_n</tex> входят в <tex>\alpha</tex> свободно. Запись <tex>\alpha (y_1, \dots y_n)</tex> будем трактовать, как <tex>\alpha [x_1 := y_1, ... x_n := y_n]</tex>, при этом мы подразумеваем, что <tex>y_1, \dots y_n</tex> свободны для подстановки вместо <tex>x_1, \dots x_n</tex> в <tex>\alpha</tex>. Также, запись <tex>B(x_1, \dots x_n) := \alpha(x_1, \dots x_n)</tex> будет означать, что мы определяем новую формулу с именем <tex>B</tex>. Данная формула должна восприниматься только как сокращение записи, макроподстановка. {{Определение |definition=Арифметическая функция {{---}} примитивно рекурсивная функция <tex>f: N^n \rightarrow N</tex>.Арифметическое отношение {{---}} <tex>n</tex>-арное отношение, заданное на <tex>N</tex>.}} {{Определение |definition=Арифметическое отношение <tex>R</tex> называется выразимым (в формальной арифметике), если существует такая формула <tex>\alpha (x_1, \dots x_n)</tex> с <tex>n</tex> свободными переменными, что для любых натуральных чисел <tex>k_1</tex> ... <tex>k_n</tex> # если <tex>R(k_1, \dots k_n)</tex> истинно, то доказуемо <tex>\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})</tex># если <tex>R(k_1, \dots k_n)</tex> ложно, то доказуемо <tex>\neg \alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})</tex>.}} Например, отношение <tex>(<)</tex> является выразимым в арифметике: Рассмотрим формулу <tex>\alpha (a_1, a_2) = \exists b (\neg b = 0 \& a_1 + b = a_2)</tex>. В самом деле, если взять некоторые числа <tex>k_1</tex> и <tex>k_2</tex>, такие, что <tex>k_1 < k_2</tex>, то найдется такое положительное число <tex>b</tex>, что <tex>k_1 + b = k_2</tex>. Можно показать, что если подставить <tex>\overline{k_1}</tex> и <tex>\overline{k_2}</tex> в <tex>\alpha</tex>, то формула будет доказуема. Наметим доказательство: Тут должно быть два доказательства по индукции, сперва по <tex>k_2</tex>, потом по <tex>k_1</tex>. Рассмотрим доказательство по индукции: пусть <tex>k_1 = 0</tex>, индукция по 2-му параметру: Разберем доказательство базы при <tex>k_2 = 1</tex>. Тогда надо показать <tex>\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex>: <table><tr class="odd"><td align="left">(1)</td><td align="left"><tex>\neg 1 = 0 \& 0 + 1 = 1</tex></td><td align="left">Несложно показать</td></tr><tr class="even"><td align="left">(2)</td><td align="left"><tex>(\neg 1 = 0 \& 0 + 1 = 1) \rightarrow \exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex></td><td align="left">Cх. акс. для <tex>\exists</tex></td></tr><tr class="odd"><td align="left">(3)</td><td align="left"><tex>\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex></td><td align="left">M.P. 1 и 2.</td></tr></table> {{Определение |definition=Введем следующее сокращение записи: пусть <tex>\exists ! y \phi (y)</tex> означает <tex>\exists y \phi (y) \& \forall a \forall b (\phi(a) \& \phi(b) \rightarrow a=b)</tex> Здесь <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — некоторые переменные, не входящие в формулу <tex>\phi</tex> свободно.
}}
==Источники информации ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Рекурсивные функции на википедииВикипедия {{---}} Рекурсивная функция]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function Wikipedia {{---}} Primitive recursive function]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]