Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition = <b>Минором графа</b> (англ. ''Graph minor'') G будем называть граф H, если H мож...»
{{Определение
|definition =
<b>Минором графа</b> (англ. ''Graph minor'') G будем называть граф H, если H может быть образован из G удалением рёбер и вершин и стягивания рёбер.
}}
{{Теорема
|statement =
Граф [[Укладка_графа_на_плоскости| планарен]] тогда и только тогда, когда его миноры не содержат ни <tex> K_{5} </tex> ни <tex> K_{3, 3} </tex> .
|proof =
Иначе говоря в соответствии с [[Теорема_Понтрягина-Куратовского|теоремой Понтрягина-Куратовского]], теорему можно переформулировать:
"''В графе G есть миноры содержащие <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex> тогда и только тогда, когда существует подграф гомеоморфный <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex>''"
Разделим доказательство на две части
# Если в G существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>, тогда в G существует подграф гомеоморфный <tex> K_{3, 3} </tex>.
# Если в G существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>, тогда в G существует подграф гомеоморфный либо <tex> K_{3, 3} </tex> , либо <tex> K_{5} </tex>.
Доказательство первой части
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>,значит существуют вершины <tex> U_{1} </tex>,<tex> U_{2} </tex>,<tex> U_{3} </tex>,<tex> W_{1} </tex>,<tex> W_{2} </tex>,<tex> U_{3} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для каждого i и j существует <tex> {u_{i, j} \in U_{i}} </tex> и <tex> {w_{i, j} \in W_{j}} </tex>, такие что (<tex> {u_{i,j}} </tex>,<tex> {w_{i,j}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого i существует поддерево в G с тремя листами как минимум, по одиному лист в каждом <tex> W_{j} </tex>, и с его другими вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. Ситуация с j симметрична.
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с тремя вершинами гомеоморфно <tex> K_{1, 3} </tex>. Таким образом, в G существует подграф гомеоморфный шести копиям <tex> K_{1, 3} </tex> соедененные три на три, т.е. получаем <tex> K_{3, 3} </tex>.
Доказательство второй части
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>,значит существуют вершины <tex> U_{1} </tex>...<tex> U_{5} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для всех <tex> {i \ne j} </tex> существует <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} </tex> и <tex> {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} </tex>, такие что ( <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого i существует поддерево <tex> T_{i} </tex> в G с четырьмя листьями, по одному листу в каждом <tex> U_{j} </tex> (<tex> {i \ne j} </tex>) и с остальными вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>.
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо <tex> K_{1, 4} </tex> либо двум связным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Значит в G есть подграф гомеоморфный пяти копиям <tex> K_{1, 4} </tex>, соедененные друг с другом. Т.е. получаем <tex> K_{5} </tex>. В противном случае подграф гомеоморфный <tex> K_{3, 3} </tex> может быть получен с помощью следущих процедур:
#Берем одну из <tex> T_{i} </tex> гочеоморфную двум соедененным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Назовем их <tex> T_{i, r} </tex> и <tex> T_{i, b} </tex>.
#Покрасим в красный вершины <tex> T_{i, r} </tex>, за исключением двух вершин которые будут окрашены в синий.
#Покрасим в синий вершины <tex> T_{i, b} </tex>, за исключением двух вершин которые окрашены в красный.
#Покрасим в синий вершины <tex> T_{j} </tex>, которые включают в себя <tex> T_{i, r} </tex>.
#Покрасим в красный вершины <tex> T_{j} </tex>, которые включают в себя <tex> T_{i, b} </tex>.
#Удалим ребра соединяющие одноцветные вершины из разных <tex> T_{j} </tex>.
Такое "обрезание" привидет к тому что <tex> T_{j} </tex> будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины.
Граф
сформированный из красных и синих вершин вместе с оставшимися ребрами изоморфен <tex> K_{3, 3} </tex>.
}}
|definition =
<b>Минором графа</b> (англ. ''Graph minor'') G будем называть граф H, если H может быть образован из G удалением рёбер и вершин и стягивания рёбер.
}}
{{Теорема
|statement =
Граф [[Укладка_графа_на_плоскости| планарен]] тогда и только тогда, когда его миноры не содержат ни <tex> K_{5} </tex> ни <tex> K_{3, 3} </tex> .
|proof =
Иначе говоря в соответствии с [[Теорема_Понтрягина-Куратовского|теоремой Понтрягина-Куратовского]], теорему можно переформулировать:
"''В графе G есть миноры содержащие <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex> тогда и только тогда, когда существует подграф гомеоморфный <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex>''"
Разделим доказательство на две части
# Если в G существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>, тогда в G существует подграф гомеоморфный <tex> K_{3, 3} </tex>.
# Если в G существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>, тогда в G существует подграф гомеоморфный либо <tex> K_{3, 3} </tex> , либо <tex> K_{5} </tex>.
Доказательство первой части
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>,значит существуют вершины <tex> U_{1} </tex>,<tex> U_{2} </tex>,<tex> U_{3} </tex>,<tex> W_{1} </tex>,<tex> W_{2} </tex>,<tex> U_{3} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для каждого i и j существует <tex> {u_{i, j} \in U_{i}} </tex> и <tex> {w_{i, j} \in W_{j}} </tex>, такие что (<tex> {u_{i,j}} </tex>,<tex> {w_{i,j}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого i существует поддерево в G с тремя листами как минимум, по одиному лист в каждом <tex> W_{j} </tex>, и с его другими вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. Ситуация с j симметрична.
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с тремя вершинами гомеоморфно <tex> K_{1, 3} </tex>. Таким образом, в G существует подграф гомеоморфный шести копиям <tex> K_{1, 3} </tex> соедененные три на три, т.е. получаем <tex> K_{3, 3} </tex>.
Доказательство второй части
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>,значит существуют вершины <tex> U_{1} </tex>...<tex> U_{5} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для всех <tex> {i \ne j} </tex> существует <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} </tex> и <tex> {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} </tex>, такие что ( <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого i существует поддерево <tex> T_{i} </tex> в G с четырьмя листьями, по одному листу в каждом <tex> U_{j} </tex> (<tex> {i \ne j} </tex>) и с остальными вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>.
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо <tex> K_{1, 4} </tex> либо двум связным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Значит в G есть подграф гомеоморфный пяти копиям <tex> K_{1, 4} </tex>, соедененные друг с другом. Т.е. получаем <tex> K_{5} </tex>. В противном случае подграф гомеоморфный <tex> K_{3, 3} </tex> может быть получен с помощью следущих процедур:
#Берем одну из <tex> T_{i} </tex> гочеоморфную двум соедененным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Назовем их <tex> T_{i, r} </tex> и <tex> T_{i, b} </tex>.
#Покрасим в красный вершины <tex> T_{i, r} </tex>, за исключением двух вершин которые будут окрашены в синий.
#Покрасим в синий вершины <tex> T_{i, b} </tex>, за исключением двух вершин которые окрашены в красный.
#Покрасим в синий вершины <tex> T_{j} </tex>, которые включают в себя <tex> T_{i, r} </tex>.
#Покрасим в красный вершины <tex> T_{j} </tex>, которые включают в себя <tex> T_{i, b} </tex>.
#Удалим ребра соединяющие одноцветные вершины из разных <tex> T_{j} </tex>.
Такое "обрезание" привидет к тому что <tex> T_{j} </tex> будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины.
Граф
сформированный из красных и синих вершин вместе с оставшимися ребрами изоморфен <tex> K_{3, 3} </tex>.
}}
