Изменения

<b>Минором графа</b> (англ. ''Graph minor'') <tex>G </tex> будем называть граф H, если H может быть образован из <tex>G </tex> удалением рёбер и вершин и стягивания рёбер.

"''В графе <tex>G </tex> есть миноры содержащие <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex> тогда и только тогда, когда существует подграф гомеоморфный <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex>''"

# Если в G существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>, тогда в <tex>G </tex> существует подграф гомеоморфный <tex> K_{3, 3} </tex>. # Если в G существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>, тогда в <tex>G </tex> существует подграф гомеоморфный либо <tex> K_{3, 3} </tex> , либо <tex> K_{5} </tex>.

Если в <tex>G </tex> существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>,значит существуют множества вершин <tex> U_{1} </tex>,<tex> U_{2} </tex>,<tex> U_{3} </tex>,<tex> W_{1} </tex>,<tex> W_{2} </tex>,<tex> W_{3} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф <tex>G</tex>, такие что для каждого <tex>i </tex> и <tex>j </tex> существует <tex> {u_{i, j} \in U_{i}} </tex> и <tex> {w_{i, j} \in W_{j}} </tex>, такие что (<tex> {u_{i,j}} </tex>,<tex> {w_{i,j}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого <tex>i </tex> существует поддерево в <tex>G с тремя листами как минимум</tex> , у которого три листа <tex>w_{1} \in W_{1}</tex>, по одиному лист в каждом <tex> w_{2} \in W_{j2}</tex>, <tex>w_{3} \in W_{3} </tex>, и с его другими вершинами внутри а все остальные вершины подграфа принадлежат <tex> U_{i} </tex>. Ситуация с <tex>j </tex> симметрична. <br/>В следствие леммы о рукопожатиях , дерево с тремя вершинами гомеоморфно <tex> K_{1, 3} </tex>. Таким образом, в <tex>G </tex> существует подграф гомеоморфный шести копиям <tex> K_{1, 3} </tex> соедененные соединенные три на три, т.е. получаем <tex> K_{3, 3} </tex>. <br/>

Если в <tex>G </tex> существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>,значит существуют множества вершин <tex> U_{1} </tex>...<tex> U_{5} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф <tex>G</tex>, такие что для всех <tex> {i \ne j} </tex> существует <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} </tex> и <tex> {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} </tex>, такие что ( <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого <tex>i </tex> существует поддерево <tex> T_{i} </tex> в <tex>G </tex> с четырьмя листьями, по одному листу в каждом <tex> U_{j} </tex> (<tex> {i \ne j} </tex>) и с остальными вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. <br/>В следствие леммы о рукопожатиях дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо <tex> K_{1, 4} </tex> , либо двум связным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Значит в <tex>G </tex> есть подграф гомеоморфный пяти копиям <tex> K_{1, 4} </tex>, соедененные соединенные друг с другом. Т.е. получаем <tex> K_{5} </tex>. В противном случае подграф гомеоморфный <tex> K_{3, 3} </tex> может быть получен с помощью следущих следующих процедур: #Берем одну из <tex> T_{i} </tex> гочеоморфную гомеоморфную двум соедененным соединенным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Назовем их <tex> T_{i, r} </tex> и <tex> T_{i, b} </tex>.

Такое "обрезание" привидет приведет к тому что <tex> T_{j} </tex> будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины.