Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=Диофантово уравнение имеет вид
<tex>MP(x_1...x_mx_n)=0</tex>, где <tex>MP</tex> {{---}} многочлен с целыми коэффициентами.<tex>(1)</tex>
}}
Диофант искал решение этих уравнений в рациональных числах, Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах.
Во времена, когда Гильберт формулировал свои проблемы, не было общего определения понятия алгоритма, однако Гильберт был оптимистом в математике, верил в разрешимость этой проблемы, в этом смысле задача была сформулирована им вполне корректно. Понятие алгоритма было сформулировано в тридцатые годы двадцатого века в работах матлогиков Черча, Клини, Тьюринга, Геделя. Важную роль в решении десятой проблемы Гильберта сыграл Эмиль Пост. В одной из своих работ он написал, что десятая проблема Гильберта "молит о доказательстве неразрешимости". Эти слова Поста вдохновили его молодого ученика Мартина Девиса, который смог сформулировать гипотезу, из которой следовала неразрешимость десятой проблемы Гильберта.
===Гипотеза Мартина Девиса===
Для конкретного диофантова уравнения задача о нахождении целочисленных решений и задача о нахождении решений в целых неотрицательных числах — это, вообще говоря, разные задачи. Однако если мы интересуемся сразу всеми уравнениями (как, например, в 10-й проблеме Гильберта), то эти две задачи совпадают. Действительно, если рассмотреть систему уравнений <tex>(2)</tex>
<tex> \left\{ \begin{array}{lcr}P(x_1...x_n)=0; \\ x_1=y_{1,\;1}^2+y_{1,\;2}^2+y_{1,\;3}^2+y_{1,\;4}^2;\\...\\...\\x_n=y_{n,\;1}^2+y_{n,\;2}^2+y_{n,\;3}^2+y_{n,\;4}^2
\end{array}\right. </tex>,
то станет понятно, что:
*любое решение системы <tex>(2)</tex> в произвольных целых числах содержит решение уравнения <tex>(1)</tex> в неотрицательных целых числах;
*для любого решения уравнения <tex>(1)</tex> в неотрицательных целых числах <tex>x_1,x_2,..., x_n</tex> найдутся целочисленные значения <tex>y_{1,\;1},..., y_{n,\;4}</tex>, дающие решение системы <tex>(2)</tex> , так как, согласно известной теореме Лагранжа, каждое неотрицательное целое число представимо в виде суммы квадратов четырёх целых чисел.
По техническим причинам удобнее рассматривать решения в целых неотрицательных числах и Мартин Девис ограничился рассмотрением только таких решений.
