Приведём доказательство от противного.
Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо и нетривиально, <tex>p_A</tex> {{---}} программа, разрешающая <tex>A</tex>.
Не умаляя общности, можно считать, что Пусть <tex>p_\varnothing \notin Ainfty</tex> (в противном случае перейдём к <tex> \mathrm {RE{---} \setminus A</tex>} всегда зацикливающийся алгоритм. Для упрощения предположим, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как что <tex> p_\mathrm {RE} infty \setminus in A \neq \varnothing </tex> и <tex> \mathrm {RE} \setminus A \neq \mathrm {RE} ) </tex>. В противном случае доказательство аналогично.
Поскольку Рассмотрим <tex>Ap_a</tex> непусто{{---}} программу, то найдётся перечислимый язык такую что <tex>X a \in \overline A</tex> (такое <tex>a</tex> существует, т.к. А - нетривиально). Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.
Рассмотрим вспомогательную программу: Зафиксируем произвольное <tex> Un \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию <tex>Vn(x) = \begin{cases} a(ix), n \in X; \\ p_\infty(x), n \notin X; \\\end{cases} </tex> {{---}} [[Универсальная функция | универсальная функция]]
Тогда для произвольных <texcode>i '''function''' </tex> и <tex> x V_n</tex> можем написать такую программу. <tex>g_{i,(x}(y):</tex> '''if''' <tex>U(i, x)p_X</tex> == 1 (n) '''return''' <tex>p_X(y)p_a</tex>(x) '''else''' '''while''' ''true''</code>
Нетрудно понятьПолучили, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным если <tex>in \in X</tex> и , то <tex>Vn(x) \in L(\overline S)</tex>, а если <tex>n \notin X</tex>. Значит, можно рассмотреть такую программу: то <tex>USVn(x) \langle iin L(S)</tex>. Таким образом, <tex>n \in X \iff V_n(x ) \in L(\rangle overline S)</tex>. '''return''' Так как <tex>p_A ( g_\overline S</tex> - разрешимо, то можно проверить для любого <tex>a</tex>, лежит ли оно в <tex>\overline{iS}</tex>. Но это тоже самое,x} ) что и проверка <tex>n \in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex>- неразрешимо, получили противоречие.
Заметим, что
<tex>
L(g_{i,x}) = \begin{cases}
X, & U(i, x) = 1; \\
\varnothing, & U(i, x) \neq 1; \\
\end{cases}
</tex>
Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать <tex> X</tex> и пустое.
Следовательно, <br/> <tex>
US(\langle i, x \rangle ) = p_A(g_{i,x}) = \begin{cases}
p_A(p_X), & U(i, x) = 1; \\
p_A(p_\varnothing ), & U(i, x) \neq 1; \\
\end{cases} = \begin{cases}
1, & U(i, x) = 1; \\
0, & U(i, x) \neq 1; \\
\end{cases}
</tex> {{---}} программа, разрешающая [[Универсальная функция | универсальное множество]]. Получили противоречие.
}}
