Изменения
Нет описания правки
Основополагающий вклад в решение десятой проблемы Гильберта внесла американский математик Джулия Робинсон. Ее учитель, Альфред Тарский, предположил, что даже множество всех степеней числа <tex>2</tex> не является диофантовым. Джулия Робинсон исследовала вопрос о том, является ли диофантовым множество, состоящее из троек :
<mathtex>\left \langle a, b, c= a^b\right \rangle</mathtex>
Найти диофантово представление для операции возведения в степень ей не удалось, но она нашла достаточное условие для его существования:
В 1958 году М. Дэвис и Х. Патнем опубликовали работу, в которой они рассмотрели класс так называемых экспоненциально-диофантовых уравнений.Такие уравнения имеют вид:
<tex>E_1(x_1,x_2,...,x_mx_n) = E_2(x_1,x_2,...,x_mx_n)</tex>,
где <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex> — выражения, построенные из <tex>x_1, x_2,..., x_m</tex> и конкретных натуральных чисел с помощью сложения, умножения и возведения в степень.
В 1961 году в совместной работе Робинсон, Дэвиса и Патмена было получено экспоненциально - диофантово представление для любого перечислимого множества:
<tex>\left \langle a_1, a_2, ..., a_m\right \rangle\in\mathbb{M}\Leftrightarrow \exists x_1, x_2,..., x_n\</tex>
<tex>\left \{E_1(a_1,a_2,...,a_m,x_1,x_2,...,x_n) = E_2(a_1,a_2,...,a_m,x_1,x_2,...,x_m)\right \}</tex>
Одним из следствий работы стала возможность сведения любого показательно-диофантова уравнения к экспоненциально-диофантову уравнению с фиксированным числом переменных.
Чтобы перенести результат Дэвиса, Патнема и Робинсон на обычные диофантовы уравнения, нужно было доказать, что множество, состоящее из троек <tex>\left \langle a, b, c= a^b\right \rangle</tex>, является диофантовым. Тогда стало бы возможным ценой введения дополнительных неизвестных перевести экпоненциально-диофантово представление в диофантово представление:
<tex>a, b, c= a^b\Leftrightarrow \exists x_1,x_2,...,x_n \left \{ P(a, b,c, x_1, x_2, ..., x_n)=0\right \} </tex>
