53
правки
Изменения
Нет описания правки
Алгоритм Прима — алгоритм поиска [[Лемма о безопасном ребре#Минимальное остовное дерево|минимального остовного дерева]] (minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.
==Идея==
Данный алгоритм очень похож на [[алгоритм Дейкстры]]. Будем последовательно строить поддерево <tex>F</tex> ответа в графе <tex>G</tex>, поддерживая приоритетную очередь <tex>Q</tex> из вершин <tex>G \setminus F</tex>, имеющую ключом для вершины <tex>v</tex> <tex>\min\limits_{u \in F, uv \in EG}w(uv)</tex> (вес минимального ребра из вершин <tex>F</tex> в вершину <tex>v</tex>). Также для каждой вершины очереди будем хранить <tex>p(v)</tex> — вершину <tex>u</tex>, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево <tex>F</tex> поддерживается неявно, и равно <tex>\left\{\left(v,p(v)\right)|v \in G \setminus \{r\} \setminus Q\right\}</tex>, где <tex>r</tex> — корень <tex>F</tex>. Изначально <tex>F</tex> пусто, в очереди все вершины с ключами <tex>+\infty</tex>. Выберём произвольную вершину <tex>r</tex> и присвоим её ключу <tex>0</tex>. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину <tex>v</tex> из приоритетной очереди и релаксировать все ребра <tex>vu</tex>, такие что <tex>u \in Q</tex>, выполняя при этом DECREASE-KEY и обновление <tex>p(v)</tex>. Ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> при этом добавляется к ответу.
==Реализация==
'''<tex>\text{MST\_Prim}(G, w)</tex>'''
'''for''' (для) всех <tex>v \in V[G]</tex>
Ребра дерева восстанавливаются из его неявного вида после выполнения алгоритма.
== Корректность ==
По поддерживаемым инвариантам после извлечения вершины <tex>v</tex> (<tex>v \neq r</tex>) из <tex>Q</tex> ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> является ребром минимального веса, пересекающим разрез <tex>\left(F,Q\right)</tex>. Значит, по [[Лемма о безопасном ребре|лемме о безопасном ребре]], оно безопасно. Алгоритм построения MST, добавляющий безопасные ребра, причём делающий это ровно <tex>|V|-1</tex> раз, корректен.
== Оценка производительности ==Производительность алгоритма Прима зависит от выбранной реализации приоритетной очереди, как и в [[алгоритм Дейкстры|алгоритме Дейкстры]]. Извлечение минимума выполняется <tex>O(V)</tex> раз, релаксация — <tex>O(E)</tex> раз. {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align:center" width=30%!style="background:#f2f2f2"|Структура данных для приоритетной очереди!style="background:#f2f2f2"|Асимптотика времени работы|-|style="background:#f9f9f9"|Наивная реализация|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(V^2+E)</tex>|-|style="background:#f9f9f9"|Двоичная куча|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(E\log{V})</tex>|-|style="background:#f9f9f9"|Куча Фибоначчи|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(V\log{V}+E)</tex>|} ==См. также==
* [[Алгоритм Краскала]]
