129
правок
Изменения
м
дефисы -> тире
Пусть <tex>p_\infty</tex> {{---}} всегда зацикливающийся алгоритм. Для упрощения предположим, что <tex>p_\infty \in A</tex>. В противном случае доказательство аналогично.
Рассмотрим <tex>p_a</tex> {{---}} программу, такую что <tex>a \in \overline A</tex> (такое <tex>a</tex> существует, т.к. А {{- --}} нетривиально). Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{--- }} полуразрешитель <tex>X</tex>.
Зафиксируем произвольное <tex>n \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию
Получили, что если <tex>n \in X</tex>, то <tex>V_n \in L(\overline S)</tex>, а если <tex>n \notin X</tex>, то <tex>V_n \in L(S)</tex>. Таким образом, <tex>n \in X \iff V_n \in L(\overline S)</tex>.
Так как <tex>\overline S</tex> {{--- }} разрешимо, то можно проверить для любого <tex>a</tex>, лежит ли оно в <tex>\overline{S}</tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex> {{--- }} неразрешимо, получили противоречие.
