304
правки
Изменения
Новая страница: «'''Формула полной вероятности''' позволяет вычислить вероятность интересующего события че…»
'''Формула полной вероятности''' позволяет вычислить вероятность интересующего события через [[условная вероятность|условные вероятности]] этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.
==Формулировка==
Пусть дано вероятностное пространство <tex>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</tex>, и полная группа попарно несовместных событий <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}</tex> таких что <tex>\forall i \mathbb{P}(B_i) > 0;</tex> <tex>\forall{j \ne i}</tex> <tex>B_i \cap B_j = \varnothing;</tex> <tex>\cup_{i=1}^n B_i=\Omega</tex>. Пусть <tex>A \in \mathcal{F}</tex> суть интересующее нас событие. Тогда
:<tex>\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i)</tex>.
==Замечание==
Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть <tex>N</tex> — случайная величина, имеющая распределение
:<tex>\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)</tex>.
Тогда
:<tex>\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]</tex>,
т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.
==См. также==
* [[Условная вероятность]]
* [[Математическое ожидание случайной величины]]
* [[Формула Байеса]]
==Формулировка==
Пусть дано вероятностное пространство <tex>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</tex>, и полная группа попарно несовместных событий <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}</tex> таких что <tex>\forall i \mathbb{P}(B_i) > 0;</tex> <tex>\forall{j \ne i}</tex> <tex>B_i \cap B_j = \varnothing;</tex> <tex>\cup_{i=1}^n B_i=\Omega</tex>. Пусть <tex>A \in \mathcal{F}</tex> суть интересующее нас событие. Тогда
:<tex>\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i)</tex>.
==Замечание==
Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть <tex>N</tex> — случайная величина, имеющая распределение
:<tex>\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)</tex>.
Тогда
:<tex>\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]</tex>,
т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.
==См. также==
* [[Условная вероятность]]
* [[Математическое ожидание случайной величины]]
* [[Формула Байеса]]
