186
правок
Изменения
Нет описания правки
==Для чего нам нужна эта выпуклая оболочка прямых?==
Пусть мы считаем динамику для <math>i</math>-го дерева. Его задает <math>x[i]</math>. Итак, нам нужно для данного <math>x[i]</math> найти минимум по всем <math>min_{j=0..i-1}(k[j]*x[i] + b[i]) = min_{j=0..i-1}(y[j](x[i]))</math>. Нетрудно видеть, что это есть convex(x[i]). Из монотонности угловых коэффицентов отрезков, задающих выпуклую оболочку, и их расположения по координаты x следует то, что отрезок, который пересекает прямую <math>x = x[i]</math>, можно найти бинарным поиском. Это потребует <math>O(logn) </math> времени на поиск такого j, что dp[i] = k[j] * x[i] + b[j]. Теперь осталось научиться быстро поддерживать множество прямых и добавлять <math>i</math>-ю прямую после того, как мы посчитали <math>b[i] = dp[i]</math>.
Название статьи подсказывает, что нужно воспользоваться алгоритмом построения выпуклой оболочки множества точек. Но (внезапно) у нас не точки, а прямые… Но что меняется??? Пусть есть 2 стека <math>k[] и b[]</math>, которые задают прямые в отсортированном порядке. Пусть пришла новая прямая. Найдем точки пересечения (по x) с последними 2мя прямыми из стека. Назовем их <math>xL</math> и <math>xR</math>. Если оказалось, что новая прямая пересекает предпоследнюю прямую выпуклой оболочки позже, чем последнюю (xL >= xR), то последнюю можно удалить из нашего множества. Так будем делать, пока либо кол-во прямых в стеке не станет равным 2 или <math>xL</math> не станет меньше <math>xR.</math>
Асимптотика : аналогично обычному алгоритму построения выпуклой оболочки, каждая прямая ровно 1 раз добавится в стек и максимум 1 раз удалится. Значит время работы перестройки выпуклой оболочки займет <math>O(n)</math> суммарно.
