1632
правки
Изменения
м
Легко заметить, что остовное дерево, не удовлетворяющее условию, не минимально:Если существует ребро, не максимальное на образовавшемся цикле мы можем уменьшить вес дерева, добавив это ребро и удалив максимальное.<tex> \Rightarrow </tex>
Теперь докажемДокажем, что остовное дерево, удовлетворяющее условию состоящее из ребер наименьшего веса на циклах {{---}} минимально:.
Обозначим Предположим противное: пусть остовное дерево <tex>TA </tex>состоит из всех минимальных ребер на циклах, покажем что его можно построить алгоритмом Крускалатогда оно не минимально.
Индукция по количеству ребер в дереве:База:пустое дерево. Строим дерево Если <tex>T'A </tex> по лемме о безопасном ребрене минимально, то его можно улучшить, значит есть ребро, которое имеет наименьший вес на цикле и не принадлежит дереву. Следовательно, дерево построено не на минимальных ребрах в циклах {{---}} противоречие.
Переход: Рассмотрим минимальное невзятое ребро <tex>uv \in TLeftarrow </tex> Рассмотрим разрез, окружающий одну из двух компонент
Пусть Построим минимальное остовное дерево <tex>uvA </tex> не минимально в разрезе, тогда существует с помощью общего алгоритма построения MST. Докажем, что оно имеет минимальные ребра на каждом цикле. '''function''' Generic MST(<tex>ab \notin TG </tex> такое, что ): <tex>w(ab) < w(uv)A = \{ \} </tex>. При добавлении '''while''' <tex>abA </tex> в дерево не является остовом '''do''' найти безопасное ребро <tex>T( u, v ) \in E </tex> Некое ребро для <tex>xyA </tex>, такое что <texfont color = darkgreen>w(xy) \ge w(uv) < w(ab)// нужное ребро находится с помощью [[Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] </texfont color = darkgreen> будет лежать на цикле. Противоречие условию теоремы.Если <tex>uvA = A \cup \{( u, v )\} </tex> минимально - добавим его в '''return''' <tex>T'A </tex>.
По окончании (просмотрели все ребра Заметим, что дерево <tex>T</tex>) <tex>T</tex> совпадет с <tex>T'A </tex>состоит полностью из безопасных ребер, так как на каждом шаге добавлялось безопасное ребро.
rollbackEdits.php mass rollback
== Критерий Тарьяна ==
{{Теорема
|about=
критерий Тарьяна минимальности остовного дерева Тарьяна
|statement=
Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда любое ребро для любого ребра, не из дерева является максимальным на цмклепринадлежащего остову, цикл, который образуется образуемый этим ребром при его добавлении в деревок остову, не содержит рёбер тяжелее этого ребра.
|proof=
Теперь, рассмотрим какой-нибудь разрез <tex> (S, T) </tex> уже построенного дерева <tex> A </tex> и пересекающее ребро <tex> (u, v) </tex>, причем <tex> u \in S </tex>, а <tex> v \in T </tex>. Найдем путь в изначальном графе <tex> G </tex>, соединяющий вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Так как они находятся в разных компонентах связности, то какое-нибудь ребро <tex> (a, b) \notin A</tex> тоже будет пересекать разрез <tex> (S, T) </tex>. Очевидно, что <tex> w(u, v) \leqslant w(a, b) </tex>, так как первое {{---}} безопасное ребро.
Следовательно, любое ребро не принадлежащее <tex> A</tex> не легче ребер принадлежащих <tex> A </tex> на этом цикле.
}}
== Уникальность остовного дерева ==
{{Задача
|definition=Поиск минимального остовного дерева и проверка его на уникальность.
}}
<h4>Алгоритм решения</h4>
Построим минимальное остовное дерево используя [[алгоритм Краскала]].
Рассмотрим рёбра вне остова в любом порядке. Очередное обозначим <tex>e = (u, v)</tex>. Рассмотрим максимальное ребро на пути <tex>u</tex> и <tex>v</tex> внутри остова:
*Если его вес совпадает с весом ребра, то при добавлении ребра в остов, мы получим остов с циклом на котором несколько рёбер имеют одинаковый вес, значит мы можем удалить любое из них и остовное дерево будет всё ещё минимальным, это нарушает уникальность дерева. На этом алгоритм завершается и по критерию Тарьяна мы можем сказать, что в графе можно построить несколько остовных деревьев.
*Если его вес больше ребра, то заменив ребро мы получим остов с большим весом, этот случай не влияет на уникальность.
*Его вес не может быть меньше ребра из остова, иначе мы смогли бы построить минимальное остовное дерево с меньшим весом.
После рассмотрения всех рёбер, если мы не нашли ребро вне остова, при добавлении которого создаётся цикл с максимальным ребром таким же как и на пути <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, то в графе нету другого остовного дерева и наше дерево уникально.
Искать максимальное ребро на пути <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в дереве мы можем при помощи [[Heavy-light декомпозиция|heavy-light декомпозиции]].
<h4>Асимптотика</h4>
Построение минимального остовного дерева работает за <tex>O(N \log N)</tex>, нахождение максимального ребра за <tex>O(\log N)</tex>, максимальное количество рёбер вне остова не больше <tex>N</tex>, каждое ребро проверяется за <tex>O(\log N)</tex>. Построение heavy-light декомпозиции работает за <tex>O(N)</tex>, остов мы построим один раз, heavy-light декомпозицию тоже один раз, каждое ребро мы не больше одного раза проверим на замену, сложность алгоритма <tex>O(N \log N)</tex>.
== См.также ==
* [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре]]
* [[Минимально узкое остовное дерево]]
* [[Алгоритм Краскала]]
* [[Алгоритм Борувки]]
* [[Алгоритм Прима]]
==Источники информации==
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. {{---}} Алгоритмы. Построение и анализ.
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]]
