129
правок
Изменения
улучшено доказательство
Пусть <tex>p_\infty</tex> {{---}} всегда зацикливающийся алгоритм.
'''Рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(A)</tex>.'''
Рассмотрим <tex>p_a</tex> {{---}} программу, такую что <tex>a p_a \in L(\overline A)</tex> (такое <tex>ap_a</tex> существует, т.к. <tex>A</tex> {{---}} нетривиально), а также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.
Зафиксируем произвольное <tex>n \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию
</code>
Получили, что если <tex>n \in X</tex>, то <tex>V_n \in L(\overline SA)</tex>, а если <tex>n \notin X</tex>, то <tex>V_n \in L(A)</tex>. Таким образом, <tex>n \in X \iff V_n \in L(\overline A)</tex>.
Так как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо, то можно проверить для любого <tex>aV_n</tex>, лежит ли оно в <tex>L(\overline{A})</tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex> {{---}} неразрешимо, получили противоречие.
'''Теперь рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(\overline{A})</tex>.'''
Так как <tex>\overline{A}</tex> {{---}} нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, <tex>A</tex> также неразрешимо.
